3.3 导数与函数的极值、最值课件-2023届高三数学一轮复习

第三节　导数与函数的极值、最值 【课标标准】　 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 知识梳理 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫作函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫作函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b叫作函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)>0 f′(x)<0 2．函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________； ②将函数y＝f(x)的各极值与______________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) [常用结论] 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 3．对于连续的函数y＝f(x)，在区间[a，b]上，y＝f(x)的极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(　　) (2)导数等于0的点一定是函数的极值点．(　　) (3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　) × × √ √ 2．(教材改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 答案：C 解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个， 故选C. 3．(教材改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为________． －1 解析：因为f′(x)＝－1＝， 当x∈(0，1)时，f′(x)>0， 当x∈(1，e]时，f′(x)<0， 所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1. 4．(易错)函数f(x)＝m2x3－2mx2＋x在x＝处取得极大值，则实数m的值为(　　) A．1或3　　　　 　B．3 C．1 D．0 答案：C 解析：f′(x)＝3m2x2－4mx＋1， 由题意得f′()＝m2－m＋1＝0，解得m＝1或m＝3. 当m＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1. 令f′(x)>0，解得x>1或x<；令f′(x)<0，解得<x<1. 故f(x)在(－∞，)上单调递增，在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故x＝是极大值点，符合题意． 当m＝3时，f(x)＝9x3－6x2＋x，f′(x)＝27x2－12x＋1. 令f′(x)>0，解得x>或x<，令f′(x)<0，解得<x<，故f(x)在(－∞，)上单调递增，在()上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故x＝是极小值点，不符合题意． 综上所述：m＝1. 故选C. 5．(易错)若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________． 4 解析：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2. ∵0≤x≤3，∴x＝2，当0<x<2时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在区间(0，2)上单调递减； 当2<x<3时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(2，3)上单调递增． 又f(0)＝m，f(3)＝m－3，∵m>m－3， ∴x＝0时，f(x)在[0，3]上取得最大值f(0)＝m. ∴m＝4. 题型一　导数与函数的极值 角度一 求函数的极值 例 1 (1)求函数f(x