2.9 函数模型的应用课件-2023届高三数学一轮复习

第九节　函数模型的应用 【课标标准】　 1.了解指数函数、对数函数和一次函数增长速度的差异. 2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 知识梳理 1.指数、对数、幂函数性质比较 函数 性质　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与________平行 随x的增大逐渐表现为与________平行 随n值变化而各有不同 递增 递增 y轴 x轴 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) [常用结论] 1．函数f(x)＝(a>0，b>0，x>0)在区间(0，]上单调递减，在区间[，＋∞)上单调递增． 2．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量越来越大，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (2)不存在x0，使<logax0.(　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(　　) × × √ × 2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x　　　　　B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 答案：D 解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知D满足题意． 故选D. 3．(教材改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”． 10 解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为()n，由()n<，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”． 4．(易错)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x) 答案：B 解析：在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)． 故选B. 5．(易错)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________． －1 解析：设原来的生产总值为a，平均增长率为x， 则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2， 解得1＋x＝， 即x＝－1. 题型一　二次函数模型 例 1 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解析：(1)由题意可知：y＝x2－200x＋80 000(300≤x≤600)， 每吨二