2.2 函数的单调性和最值课件-2023届高三数学一轮复习

第二节　函数的单调性和最值 【课标标准】　 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调性的定义   增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是______的 自左向右看图象是______的 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升 下降 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上________或________，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 单调递增 单调递减 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(m) 条件 (1)对于任意x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有________；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝m 结论 M为最大值 m为最小值 f(x)≤M f(x)≥m [常用结论] 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0).(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (3)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　) × × √ × 2．(教材改编)下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x| 答案：C 解析：对于A.一次函数f(x)＝3－x在R上单调递减，故该选项不符合题意； 对于B.二次函数f(x)＝x2－3x的图象的对称轴是x＝，函数在上单调递减，故该选项不符合题意； 对于C.f(x)＝－是由反比例函数y＝－向左平移1个单位得到的，因为反比例函数在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－在(－1，＋∞)上单调递增，故该选项符合题意； 对于D.f(x)＝－|x|，当x＞0时，f(x)＝－x为减函数，故该选项不符合题意． 故选C. 3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 2 解析：易知函数f(x)＝在x∈[2，6]上单调递减， 故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝. 4．(易错)函数f(x)＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，－1)　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1)，(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：C 解析：f(x)＝＝＝－1＋，又f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，由函数的图象平移可知，f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞). 故选C. 5．(易错)若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，则实数a的值是________． －3 解析：因为函数f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，且函数f(x)的图象对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. 题型一　求函数的单调区间 例 1 (1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是(　　) A． B．和[2，＋∞) C.(－∞，1]和 D．和[2，＋∞) 答案：C 解析：(1)y＝|x2－3x＋2|＝ 如图所示， 函数的单调递减区间是(－∞，1]和. 故选C. (2)[2023·河北英才国际学校月考]若函数f(x)＝6ln x－x2＋x，则f(x)的单调递减区间为(　　) A． B．(2，＋∞) C．(0，2) D． 答案：B