1.5 一元二次方程、不等式课件-2023届高三数学一轮复习

第五节　一元二次方程、不等式 【课标标准】　 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.了解一元二次不等式的现实意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识梳理 1.二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 __________ __________ R 一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________ ∅ __________ {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ 2.分式不等式的解法 (1)≥0⇔ (2)>0⇔f(x)g(x)>0. [常用结论] 1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记a＝0时的情形． 2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或   夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) √ × × √ 2．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－16≤0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A＝(　　) A．[－4，1)　　　　 B．[－4，4] C．(－∞，1) 答案：D 解析：A＝[－4，4]，B＝(－∞，1)＝R.故选D. 3．(教材改编)已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则a＋b的值是________． －1 解析：若关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1. 4．(易错)不等式<x的解集为__________________． (－1，0) 解析：－x<0，即<0， 即x(1－x2)<0，即x(x－1)(x＋1)>0， 所以或 解得x>1或－1<x<0， 所以不等式的解集为(－1，0) 5．(易错)要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，则m的取值范围为________． (－∞，0] 解析：函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)<0对一切实数x恒成立． 当m＝0时，－1<0恒成立； 当m≠0时，要使其恒成立， 则有解得m<0. 综上，m的取值范围为{m|m≤0}． 题型一　解不等式 角度一 不含参数的不等式 例 1 (1)不等式－x2＋3x＋18<0的解集为(　　) A．{x|x>6或x<－3} B．{x|－3<x<6} C．{x|x>3或x<－6} D．{x|－6<x<3} 答案：A 解析：－x2＋3x＋18<0可化为x2－3x－18>0， 即(x－6)(x＋3)>0，即x>6或x<－3. 所以不等式的解集为{x|x>6或x<－3}． 故选A. (2)[2023·河北沧衡联考]已知集合A＝{x|x2－2x＋3≥0}，B＝，则＝(　　) A．　　　 B．{－1，0，1，2，3} C．{－2，－1，1，2，3} D．R 答案：B 解析：解不等式x2－2x＋3≥0，x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，x∈R， 解不等式≤0 得－2<x≤3，B＝{－1，0，1，2，3}， ∴A＝{－1，0，1，2，3}． 故选B. 题后师说 1.解一元二次不等式的一般步骤 2．分式不等式的解法 将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其化为整式不等式(组)再求解． 巩固训练1 (1)不等式x(2x＋7)≥－3的解集为(　　) A．(－∞，－3] B． C．(－∞，－2] D． 答案：A 解析：(1)x(2x＋7)≥－3可变形为2x2＋7x＋3≥0， 令2x2＋7x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝－， 所以x≤－3或x≥－，即不等式的解集为(－∞，－3].