8.9抛物线及其性质课件-2023届高三数学一轮复习

第九节　抛物线及其性质 【课标标准】　1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点).3.了解抛物线的简单应用． 知识梳理 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________. 相等 焦点 准线 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 ________ ________ ________ ________ 离心率 e＝1 准线方程 ________ ________ ________ ________ F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) x＝－ x＝ y＝－ y＝ 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.(　　) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　) (4)抛物线的方程都是二次函数．(　　) × √ × × 2．(教材改编)已知抛物线的焦点坐标为(0，)，则该抛物线的标准方程为(　　) A．y2＝2x B．y2＝x C．x2＝2y D．x2＝－2y 答案：C 解析：由题意可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)， 则＝，得p＝1. ∴抛物线的标准方程为x2＝2y. 故选C. 3．(教材改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________． (3，6) 解析：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3. ∵抛物线y2＝12x上的点到焦点的距离等于6， ∴根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为3， 代入抛物线方程，可得y2＝36， ∴y＝±6，即所求点的坐标为(3，6)或(3，－6)． 故答案为(3，6)或(3，－6)． 4．(易错)抛物线y＝－x2的焦点坐标是(　　) A．(0，－) B．(－，0) C．(0，－1) D．(－1，0) 答案：C 解析：抛物线的标准方程为x2＝－4y， 故抛物线开口向下，焦点在y轴的负半轴上， ∴焦点坐标为(0，－1)． 故选C. 5．(易错)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________． y2＝－x 解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或 x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y. 题型一　抛物线的定义及其应用 例1 (1)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：D 解析：设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于动圆的半径r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线． 故选D. (2)[2023·河南郑州模拟]抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点M在C上，|MF|＝12，则M到y轴的距离是(　　) A．4　　　 B．8　　　 C．10　　　 D．12 答案：B 解析：抛物线C：y2＝16x的准线方程为x＝－4. 设M(x0，y0)，由抛物线的定义知：|MF|＝12，即x0＋4＝12， 即x0＝8，所以M到y轴的距离是8. 故选B. (3)[2023·江西赣州模拟]已知直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A，抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)，P为抛物线E上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：方程mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)， 所以直线mx－y＋1－2m＝0恒过定点A(2，1). 因为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F(1，0)， 所以＝1，即p＝2， 所以y2＝4x. 过点P作PP1⊥准线x＝－1，垂足为P1， 则|PP1|＝|PF|， 过点A作AA1⊥准线x＝－1，垂足为A1， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP1|≥|AA1|＝3， 当且仅当A，P，A1三点共线时取等号， 所以|PA|＋|PF|的最小值为3. 故选C. 题后师说 抛物线定义的应用策略 巩