8.8直线与双曲线课件-2023届高三数学一轮复习

第八节　直线与双曲线 【课标标准】　1.理解直线与双曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被双曲线所截的弦长公式． 知识梳理 1.直线与双曲线位置关系的判断 联立得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2＝0，该一元二次方程的判别式为Δ. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线________，直线与双曲线__________． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时， Δ>0⇒直线与双曲线有________个交点； Δ＝0⇒直线与双曲线有________个交点； Δ<0⇒直线与双曲线有________个交点． 平行 相交于一点 2 1 0 2．直线与双曲线相交的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝ ＝|y1－y2| ＝. [常用结论] 同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的弦为实轴，其长为2a. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线的渐近线与双曲线不会相交．(　　) (2)“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的充要条件．(　　) (3)直线y＝x＋2与双曲线＝1的位置关系是相交．(　　) (4)过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有2条．(　　) √ × √ × 2．(教材改编)直线y＝(x－)与双曲线－y2＝1的交点个数是(　　) A．0　　　B．1 C．2　　　D．4 答案：B 解析：由双曲线的方程－y2＝1可得双曲线的渐近线方程y＝±x. y＝(x－)与直线y＝x平行且直线y＝(x－)过定点(，0)，在双曲线的内部，直线与双曲线只有一个交点． 故选B. 3．(教材改编)过双曲线＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点，则|AB|＝_____． 解析：由双曲线的方程得F1(3，0)，F2(3，0)，直线AB的方程为y＝(x－3)，① 将其代入双曲线方程消去y得， 5x2＋6x－27＝0，解得x1＝－3. x2＝. 将x1，x2代入①，得y1＝－2， y2＝－， 故|AB|＝ ＝. 4．(易错)已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个交点，则k的取值范围为(　　) A．(0，) B．[1，] C．(－) D．(1，) 答案：D 解析：联立，得消去y得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，所以k≠±1，设直线与双曲线的两个交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 所以即 整理得整理1<k<，所以实数k的取值范围是(1，)． 5．(易错)过点P(4，3)与双曲线＝1只有一个公共点的直线有________条． 2 解析：因为双曲线的方程为＝1， 所以a＝4，b＝3， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x， 又点P(4，3)在直线y＝x上， 如图所示： 当过点P(4，3)的直线与直线y＝－x平行或与x轴垂直(过右焦点)时，与双曲线只有一个公共点， 所以这样的直线有2条． 题型一　直线与双曲线的位置关系 例1 已知直线l：y＝k(x－1)，双曲线：x2－y2＝4，试讨论下列情况下实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解析：取立直线y＝k(x－1)和双曲线x2－y2＝4，消去y得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0， 判别式Δ＝4k4＋4(1－k2)(k2＋4)＝4(4－3k2)． (1)1－k2≠0，且Δ＞0，解得 －＜k＜且k≠±1， 则k的取值范围是(－，－1)∪(－1，1)∪(1，)． (2)1－k2＝0或1－k2≠0，且Δ＝0，解得k＝±1，或k＝±，则k的取值范围是k＝±1，或k＝±. (3)1－k2≠0，且Δ＜0，解得k＞或k＜－，则k的取值范围是(－∞，－(，＋∞)． 题后师说 (1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． (2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． 巩固训练1 [2023·安徽宿州期末]已知双曲线C的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，实轴长为2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点P(0，1)的直线与双曲线C的左、右支各交于一点，求该直线斜率k的取值范围． 解析：(1)由题意双曲线C的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，实轴长为2， 可设双曲线方程为＝1，(a>0)，且2a＝2，a＝1， 则双曲线标准方程为x2－y2＝1. (2)由题意可