8.5椭圆及其性质课件-2023届高三数学一轮复习

第五节　椭圆及其性质 【课标标准】　1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 知识梳理 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________． 常数 焦点 焦距 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 ____________ ____________ ____________ ____________ 对称性 对称轴：________，对称中心：________ 顶点 A1________， A2________， B1________， B2________ A1________， A2________， B1________， B2________ 轴 长轴A1A2的长为________；短轴B1B2的长为________ 焦距 |F1F2|＝________ 离心率 e＝________∈(0，1) －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 坐标轴 原点 (－a，0) (a，0) (0，－b) (0，b) (0，－a) (0，a) (－b，0) (b，0) 2a 2b 2c [常用结论] 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大最大． ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤()2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) (4)椭圆＝1(a>b>0)与椭圆＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) × × √ √ 2．(教材改编)已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：C 解析：不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝. 故选C. 3．(教材改编)若F1(3，0)，F2(－3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是__________． ＝1 解析：因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＝1. 4．(易错)已知椭圆＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________． 9 解析：根据题意得椭圆＝1中， a＝6， P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且|PF1|＝3， 故|PF1|＋|PF2|＝2a＝12. 又|PF1|＝3， ∴|PF2|＝12－3＝9， 即点P到另一个焦点的距离为9. 5．(易错)已知椭圆＝1(m>0)的离心率e＝，则m的值为________． 3 解析：若a2＝5，b2＝m，则c＝，由＝，即＝，解得m＝3；若a2＝m，b2＝5，则c＝.由＝，即＝，解得m＝. 题型一　椭圆定义的应用 角度一 求轨迹方程 例1 [2023·河北深州期末]已知A(－1，0)，B是圆C：(x－1)2＋y2＝8上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P 的轨迹方程为 _________． ＋y2＝1 解析：如图所示，圆C：(x－1)2＋y2＝8的圆心坐标为C(1，0)，半径r＝|CB|＝2， 因为P是线段AB的垂直平分线上的点，所以|PA|＝|PB|，则|AP|＋|PC|＝|CB|＝2， 根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，C为焦点的椭圆， 其中a＝，c＝1，则有b＝＝1， 故点P的轨迹方程为＋y2＝1. 题后师说 通过对题设条件分析、转化后，能明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程． 巩固训练1 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　) A．＝1　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 答案：D 解析：设动圆的圆心M(x，y)，半径为r.因为圆M与圆C1：(x－