2.4二次函数与幂函数课件-2023届高三数学一轮复习

第四节　二次函数与幂函数 【课标标准】　 1.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值). 2.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 知识梳理 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝______________． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________． 两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的________． ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 (2)二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ________ ________ 单调性 在__________上单调递增； 在__________上单调递减 在__________上单调递增； 在__________上单调递减； 奇偶性 当________时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 ________ 对称性 图象关于直线________成轴对称图形 [－，＋∞) b＝0 　 x＝－ 2.幂函数 (1)幂函数的概念 一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 y＝xα (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上________． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上________． 单调递增 单调递减 [常用结论] 1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． 2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 3．(1)在幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (3)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　　) × √　 × × 2．(教材改编)已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3)，则此函数的解析式为(　　) A．y＝2(x－1)2＋3　 　B．y＝2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 答案：D 解析：设所求函数的解析式为y＝－2(x＋h)2＋k(a≠0)，根据顶点为(－1，3)，可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋3. 故选D. 3．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数y＝f(x)的解析式为____________． f(x)＝ 解析：设y＝xα，则＝2α，即＝2α，∴α＝. ∴f(x)＝. 4．(易错)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________． －1 解析：因为幂函数f(x)＝xα为奇函数，所以α可取－1，1，3， 又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减， 所以α＜0，故α＝－1. 5．(易错)如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则 实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)上单调递增．当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增． 则a需满足解得－≤a<0. 综上可知，－≤a≤0. 题型一　幂函数的图象与性质 例 1 (1)如图是幂函数y＝xα的部分图象，已知α取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为(　　) A．2，，－，－2 B．－2，－，2 C．－，2，－2， D．2，，－2，－ 答案：A 解析：因为在直线x＝1右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上， 所以曲线C1，C2，C3，C4相应的α依次为2，，－，－2. 故选A. (2)若a＝，b＝，c＝，d＝，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．a>b>c>d B．b>a>d>c C．b>a>c>d D．a>b>d>c 答案：C 解析：∵>0， ∴幂函数y＝在(0，＋∞)上单调递增， 又∵3>2>>>0， ， ∴b>a>c>d. 故选C. (3)[2023·河南商丘模拟]已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，