10.2二项式定理课件-2023届高三数学一轮复习

第二节　二项式定理 【课标标准】　1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识梳理 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝____________________________________，n∈N*. (2)通项：______________，它表示展开式的第k＋1项． (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数． an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn Tk＋1＝an－kbk 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项________取得最大值；当n是奇数时，中间的两项________与________相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于________． 相等 2n [常用结论] 1．两个常用公式 ＝2n. ＋…＝2n－1. 2．二项展开式的三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n. (3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n的展开式中的第k项是an－kbk.(　　) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项．(　　) (3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (4)在(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　) × × √ × 2．(教材改编)在(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于(　　) A．80　　　B．40　　　 C．20　　　D．10 答案：B 解析：Tk＋1＝(2x)k＝2kxk，当k＝2时，x2的系数为·22＝40.故选B. 3．(教材改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 答案：B 解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.故选B. 4．(易错)若(x－)n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________． 解析：(x－)n的展开式中第3项的二项式系数为， ＝15，解得n＝6，∴(x－)n＝(x－)6，令x＝1，得到展开式中所有项系数之和为()6＝. 5．(易错)(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________．(用数字作答) －160 解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是T4＝·(2x)3·(－1)3＝－160x3. ∴系数为－160. 题型一　展开式中的特定项 角度一 二项展开式的特定项 例 1(1)[2023·黑龙江哈尔滨模拟]在(x)8的展开式中x5的系数为(　　) A． B．－ C． D．7 答案：D 解析：二项式(x)8展开式的通项为Tk＋1＝)8－k·＝·()k， 令4＋k＝5，解得k＝2，所以T3＝x5·()2＝7x5， 故展开式中x5的系数为7. 故选D. (2)[2023·河南开封模拟](x－)8的展开式中所有有理项的系数和为(　　) A．85 B．29 C．－27 D．－84 答案：C 解析：展开式的通项为：Tk＋1＝x8－k＝，其中k＝0，1，2，3，4，5，6，7，8， 当k＝0，3，6时为有理项，故有理项系数和为＝1＋(－56)＋28＝－27，故选C. (3)[2023·山西运城模拟]已知(a＋bx)6的展开式中含x3项的系数为20，则(bx－)12的展开式中的常数项为(　　) A．880 B．924 C．792 D．954 答案：B 解析：由题得(a＋bx)6的展开式中第k＋1项为Tk＋1＝a6－k(bx)k， 令k＝3，得T4＝a3(bx)3＝20a3b3x3，所以20a3b3＝20，所以ab＝1，(bx－)12的展开式中第m＋1项为Tm＋1＝(bx)12－m·(－)m＝b12－m(－a)mx12－2m， 令m＝6，得T7＝a6b6＝924. 故选B. 题后师说 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零，求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可． 巩固训练1 (1)[2023·河北邯郸模拟](x＋)9的展开式中的常数项为________．(用数字作答) 84 解析：二项式(x＋)9的