5.4 平面向量的综合应用课件-2023届高三数学一轮复习

第四节　平面向量的综合应用 关键能力·题型突破 题型一　向量与平面几何 例 1(1)在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 答案：C 解析：∵·＝()·()＝()·() ＝||2－|AB|2＝×9－×16＝0. ∴AN⊥MN， ∴△AMN是直角三角形． 故选C. (2)[2023·辽宁沈阳模拟]如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P是线段AB上的动点，则|＋4|的最小值为(　　) A．3 B．6 C．2 D．4 答案：B 解析：如图，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB＝a，BP＝x(0≤x≤a)， 因为AD＝1，BC＝2， 所以P(0，x)，C(2，0)，D(1，a)， 所以＝(2，－x)，＝(1，a－x)， 4＝(4，4a－4x)， 所以＋4＝(6，4a－5x)， 所以|＋4|＝≥6， 所以当4a－5x＝0，即x＝a时，|＋4|的最小值为6. 故选B. 题后师说 平面几何问题的向量解法 巩固训练1 (1)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，＝4，则·＝(　　) A． B．－ C．－ D．－ 答案：B 解析：以CD的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 依题意可得D(－，0)，C(，0)，A(－1，)，E(，)， 所以＝(－)，＝()， 故·＝－＝－. 故选B. (2)若△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则·()的值为________． － 解析：已知△ABC是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点， 则AM＝MD＝＝， 又＝2， 则·()＝－22＝－2×()2＝－. 题型二　向量与三角函数 例 2设向量a＝(cos x，sin x)，b＝(sin x，sin x)． (1)若a∥b，求cos 2x的值； (2)设函数f(x)＝(b－a)·a，x∈[－π，π]，求f(x)的零点． 解析：(1)由a∥b，得cos x sin x－sin 2x＝0，所以sin x＝0或cos x＝sin x，若sin x＝0，则cos 2x＝1－2sin 2x＝1. 若cos x＝sin x，又sin 2x＋cos 2x＝1，则sin 2x＝，cos 2x＝1－2sin 2x＝.综上，cos 2x的值为1或. (2)f(x)＝b·a－a2＝sin x cos x＋sin 2x－1＝sin 2x＋－1＝sin (2x－)－. 令f(x)＝0，得sin (2x－)＝，又x∈[－π，π]，知2x－∈， 则2x－＝－，－，所以x＝－，－. 题后师说 向量与三角函数综合问题的解法 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数问题解决． 巩固训练2 已知a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(，2)，f(x)＝a·b－1＋m的最大值为2. (1)求函数f(x)的最小正周期及m的值； (2)若x∈，求出当x取何值时函数f(x)取得最小值并求出最小值？ 解析：(1)f(x)＝sin 2x＋2cos2x－1＋m＝sin2x＋cos 2x＋m ＝2(sin 2x＋cos 2x)＋m＝2(cos sin 2x＋sin cos 2x)＋m ＝2sin (2x＋)＋m， ∴T＝＝＝π， f(x)的最大值为2×1＋m＝2， 解得m＝0. (2)由(1)得f(x)＝2sin (2x＋)， ∵x∈，∴2x＋∈， ∴当2x＋＝时，即x＝时，f(x)min＝2×(－)＝－1. 题型三　向量与解三角形 例 3[2023·河北秦皇岛模拟]已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝(a－b，c－a)，n＝(sin B，sin A＋sin C)，且m⊥n. (1)求角C； (2)若sin B<sin C，b＝4，D为BC的中点，AD＝，求△ABC的面积． 解析：(1)因为m⊥n，所以(a－b)×sin B＋(sin A＋sin C)(c－a)＝0， 由正弦定理得(a－b)×b＝(a＋c)(a－c)． 即a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝， 因为0<C<π，所以C＝. (2)在三角形ADC中，AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD cos ∠ACD， 即13＝16＋CD2－4CD，解得CD＝1或CD＝3，即a＝2或a＝6， 因为sin B<sin C，故B<C， 因为C＝，所以A>C>B，故a>c>