8.10直线与抛物线课件-2023届高三数学一轮复习

第十节　直线与抛物线 【课标标准】　 1.理解直线与抛物线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被抛物线所截的弦长公式． 知识梳理 直线与抛物线位置关系的判断 联立得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0，该一元二次方程的判别式为Δ. (1)__________⇒直线与抛物线相切； (2)________________⇒直线与抛物线相交； (3)__________⇒直线与抛物线相离． k≠0，Δ＝0 k≠0，Δ>0或k＝0 k≠0，Δ<0 [常用结论] 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB所在直线的倾斜角)； (3)＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与抛物线相交，则它们有两个公共点．(　　) (2)所有的焦点弦中，通径的长最短．(　　) (3)直线l过(2p，0)，与抛物线y2＝2px交于A，B两点，O为原点，则OA⊥OB.(　　) (4)过准线上一点P作抛物线的切线，A，B为切点，则直线AB过抛物线焦点．(　　) × √ √ √ 2．(教材改编)垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且|AB|＝4，则直线AB的方程为_______． x＝3 解析：∵垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A、B两点，且|AB|＝4， ∴设A(x，2)，B(x，－2)， 代入抛物线方程可得12＝4x，x＝3， ∴直线AB的方程式为x＝3. 3．(教材改编)直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，则·＝________． 0 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组得：x2－6x＋4＝0， ∴x1＋x2＝6，x1·x2＝4， ∴y1y2＝(x1－2)(x2－2)＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＝－4， ∴x1x2＋y1y2＝4－4＝0. 4．(易错)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案：C 解析：∵点(0，1)在坐标轴y轴上， ∴很明显y轴是抛物线y2＝4x的切线，此时直线的斜率不存在， 当过点(0，1)作直线斜率存在时，设为k，直线方程为y＝kx＋1， 把y＝kx＋1代入抛物线方程y2＝4x得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0， 当k＝0时，y＝1，此时直线与抛物线y2＝4x仅有一个公共点， 当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，得 k＝1，此时直线与抛物线y2＝4x仅有一个公共点， ∴有三条直线与抛物线y2＝4x仅有一个公共点， 综上所述，故选C. 5．(易错)已知直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于两个不同的点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值为________． 2 解析：∵直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x相交于不同的两点A、B，∴k≠0， 由，可得k2x2－4kx－8x＋4＝0， ∴x1＋x2＝，由AB中点横坐标为2， ∴x1＋x2＝＝4，解得k＝－1或者k＝2， 检验，当k＝－1时，方程k2x2－4kx－8x＋4＝0只有一个解，即A、B两点重合， ∴k≠－1，∴k＝2. 题型一　焦点弦问题 例1 (1)[2023·河南驻马店期末]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A(点A在第一象限)，B两点，且＝2，则△ABO(O为坐标原点)的面积是(　　) A．3 B． C．2 D．4 答案：B 解析：(1)由题意可得F(1，0)，设直线l的方程为x＝my＋1. 联立整理得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. ∵＝2，∴y1＝－2y2，则＝－4， 解得y2＝－，从而y1－y2＝3， 故△ABO的面积是|OF|·|y1－y2|＝×1×3＝. 故选B. (2)[2023·河北唐山期末]已知点E(2，－2)和抛物线C：x2＝8y，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于P，Q两点．若∠PEQ＝90°，则k＝ ________． 解析：设直线PQ：y－2＝kx，与C：x2＝8y联立得x2－8kx－16＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，因为∠PEQ＝90°，所以kPE·kQE＝－1，即·＝－1，整理得(1＋k2)x1x2＋(4k－2)(x1＋x2)＋20＝0，即(2k－1)2＝0，解得k＝. 题后师说 1.解决焦点弦问题时，要注意以下几点： (1)设抛物线上的点为(x1，y1)