8.6 直线与椭圆课件-2023届高三数学一轮复习

第六节　直线与椭圆 【课标标准】　1.理解直线与椭圆位置关系的判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式． 知识梳理 1.直线与椭圆位置关系的判断 联立得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0，该一元二次方程的判别式为Δ. Δ>0⇔有________交点⇔相交； Δ＝0⇔有________交点⇔相切； Δ<0⇔有________交点⇔相离． 两个 一个 0 2．直线与椭圆相交的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝＝|y1－y2| ＝. [常用结论] 已知椭圆＝1(a＞b＞0)． (1)通径的长度为. (2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点的弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率) (3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则＝－. (4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－. (5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－. (6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为＝1. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(　　) (2)直线y＝x与椭圆＋y2＝1一定相交．(　　) (3)直线y＝x－1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　　) (4)过椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝.(　　) √ √ × × 2．(教材改编)直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 答案：A 解析：直线y＝x＋1过(0，1)是椭圆＝1内的点， 所以直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是相交． 故选A. 3．(教材改编)已知斜率为1的直线过椭圆＋y2＝1的焦点，且与椭圆交于A，B两点，则线段AB的长是________． 解析：根据题意可知c＝＝＝， 不妨设直线l过右焦点，则l：y＝x－， 联立， 消去y整理得：5x2－8x＋8＝0， ∴xA＋xB＝，xAxB＝， ∴|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 4．(易错)若直线y＝x＋2与椭圆＝1有两个交点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，+∞) C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，+∞) 答案：B 解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0，且m≠3及m>0，得m>1且m≠3. 故选B. 5．(易错)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，x2)，则＋＝1①， ＋＝1②， ∵M是线段AB的中点， ∴＝1，＝1， ∵直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1， ∴y1－y2＝－(x1－x2)， ∵过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，M是线段AB的中点， ∴①②两式相减可得 ＋＝0，即＋(－)·＝0， ∴a＝b， ∴c＝＝b， ∴e＝＝. 题型一　直线与椭圆的位置关系 例1 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解析：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y， 得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0时，直线l与椭圆C有两个公共点， 由144－8m2＞0，得m2＜18， 解得－3＜m＜3， 所以当m∈(－3，3)时，直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点， 由144－8m2＝0，得m2＝18， 解得m＝±3， 所以当m∈{－3，3}时，直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0时，直线l与椭圆C没有公共点， 由144－8m2＜0，得m2＞18， 解得m＜－3或m＞3， 所以当m∈(－∞，3)∪(，＋∞)时，直线l与椭圆C没有公共点． 题后师说 判断直线与椭圆位置关系的方法 (1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 巩固训练1 直线y＝ax－1(a∈R)与焦点在x轴上的椭圆＝1总有公共点，则实数m的取值范围