10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差课件-2023届高三数学一轮复习

第五节　离散型随机变量的分布列、均值与方差 【课标标准】　 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)．   知识梳理 1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列常用表格表示： X x1 x2 … xn P p1 p2 … Pn 3.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi________0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝________． ≥ 1 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称E(X)＝________________＝________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1＋x2p2＋…＋xnpn (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ __________________为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝___________．(a，b为常数) ②D(aX＋b)＝___________．(a，b为常数) aE（X）＋b a2D（X） [常用结论] 均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2. (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．   夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数是离散型随机变量．(　　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (3)离散型随机变量分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　) √ √ × √ 2．(教材改编)已知X的分布列为 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　) A．　　　B．4　　　 C．－1　　 D．1 X －1 0 1 P 答案：A 解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.故选A. 3．(教材改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 乙 解析：根据出现废品数分别是两个随机变量X、Y的分布列， 得到甲生产废品期望是1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， 乙生产废品期望是1×0.5＋2×0.2＝0.9， ∵甲生产废品期望大于乙生产废品期望， ∴甲、乙两人中技术较好的是乙． 4．(易错)袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　) A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到的球的个数 答案：C 解析：选项A，B是随机事件； 选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示． 5．(易错)已知离散型随机变量X的分布列为： 则常数q＝________． X 0 1 2 P 0.5 1－2q q2 解析：由离散型随机变量X的分布列得： 解得q＝. 题型一　离散型随机变量分布列的性质 例 1 设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求a的值； (2)求P(X≥)； (3)求P(≤X≤)．   解析：(1)∵随机变量X的分布列为 P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)． ∴P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. (2)P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝. (3)P(≤X≤)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋2×＋3×＝. 题后师说 离散型随机变量的分布列性质的应用 巩固训练1 (1)下表是离散型随机变量X的概