4.7 正弦定理、余弦定理课件-2023届高三数学一轮复习

第七节　正弦定理、余弦定理 【课标标准】　 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 知识梳理 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A、B、C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝________＝________＝2R a2＝______________； b2＝______________； c2＝______________ b2＋c2－2bc cos A a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C 变形 (1)a＝2R sin A，b＝________， c＝________． (2)sin A＝，sin B＝________， sin C＝________； (3)a∶b∶c＝__________________． (4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A cos A＝____________；   cos B＝____________；   cos C＝____________ 2R sin B 2R sin C 　 sin A∶sin B∶sin C 2.三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bc sin A＝ac sin B＝ab sin C. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． [常用结论] 1．三角形的内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π； 变形：＝ 2．三角形中的三角函数关系：在△ABC中， (1)sin (A＋B)＝sin C； (2)cos (A＋B)＝－cos C； (3)sin ＝cos ； (4)cos ＝sin . 3．角平分线定理：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，则＝. 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　) (4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形； 当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形； 当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形．(　　) × √ × × 2．(教材改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝. 故选C. 3．(教材改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． 2 解析：在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c. 由题意及余弦定理得 cos A＝＝＝，解得c＝2. 所以S＝bc sin A＝×4×2×sin 60°＝2. 4．(易错)在△ABC中，B＝30°，b＝，c＝2，则A＝(　　) A．15° B．45° C．15°或105° D．45°或135° 答案：C 解析：由正弦定理得sin C＝＝＝. ∵c>b，B＝30°，∴C＝45°或135°， 当C＝45°时，A＝105°； 当C＝135°时，A＝15°. 故选C. 5．(易错)在△ABC中，若sin2A＝sin2C，则△ABC的形状为________________________． 等腰三角形或直角三角形 解析：在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C. 可得2A＝2C或2A＋2C＝π， 所以A＝C或A＋C＝. 所以三角形ABC是等腰三角形或直角三角形． 题型一　利用正弦、余弦定理解三角形 例 1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝45°，a＝，b＝，则∠C＝(　　) A．60° B．75° C．60°或120° D．15°或75° 答案：D 解析：因为在△ABC中，∠A＝45°，a＝，b＝， 由正弦定理得＝，可得sin B＝＝＝， 又由0°<B<180°，所以B＝60°或B＝120°， 当B＝60°时，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°； 当B＝120°时，可得C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋120°)＝15°. 故选D. (2)已知a，b，c为△ABC的内角所对的边，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且a＝，则