4.8 正弦、余弦定理应用举例课件-2023届高三数学一轮复习

第八节　正弦、余弦定理应用举例 【课标标准】　 会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 知识梳理 1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的________和目标视线的夹角，目标视线在水平视线________的叫仰角，目标视线在水平视线________的叫俯角，如图(1)所示． 水平视线 上方 下方 2．方位角 指从________顺时针转到目标方向线的水平角，如图(2)中B点的方位角为α. 正北方向 3．方向角 相对于某正方向的________，如北偏东α，即由正北方向顺时针旋转α到达目标方向，如图(3)，其他方向角类似． 4．坡角：坡面与水平面所成的二面角的正切值． 水平角 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是[0，].(　　) (4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角的大小范围一般是[0，)．(　　) √ × × √ 2．如图，两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东10° D．南偏西10° 答案：B 解析：观察可知 ∠ACB＝90°－40°＋90°－60°＝80°， ∵AC＝BC， ∴∠CBA＝50°， 根据平行线的性质可知∠CBD＝60°， ∴∠ABD＝10°， ∴灯塔A在灯塔B北偏西10°. 故选B. 3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从点C，D测得点A的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于 ________． a 解析：由三角形的外角和定理可知： ∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， ∴AC＝CD＝a， 在Rt△ABC中， AB＝AC·sin 60°＝a， A点离地面的高度AB等于a. 题型一　测量距离问题 例 1 [2023·江西景德镇期末]江西浮梁地大物博，山清水秀．据悉某建筑公司在浮梁投资建设玻璃栈道、摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃栈道，现需要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工需要，特请昌飞公司派直升机辅助测量，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机测量的数据有在A处观察山顶M，N的俯角为：α1＝60°，β1＝30°，在B处观察山顶M，N的俯角为：α2＝45°，β2＝75°，飞机飞行的距离AB为500 m，请问：用以上测得的数据能否计算出两山顶间的距离MN，若能，请帮助该建筑公司求出MN，结果精确到1 m，若不能，请说明理由． 解析：在△AMB中，由正弦定理得 AM＝＝＝500(－1)， 在△ABN中，由正弦定理得 AN＝＝＝， 在△AMN中，由余弦定理得 MN＝ ＝500 ≈500≈500×0.82＝410 m． 题后师说 测量距离问题的求解策略 巩固训练1 [2023·河南南阳模拟]北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上，在天安门北偏东47.43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为________km.(结果精确到整数) 65 解析：如图，由题意可得AC＝46 km，∠ACB＝16.28°，∠BAC＝132.57°， 由正弦定理可得＝，即＝， 解得BC＝·sin 132.57°≈×0.74≈65. 题型二　测量高度问题 例 2 [2023·辽宁朝阳期末]大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7米后达到D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan 71.565°≈3)(　　) A．19米 B．20米 C．21米 D．22米 答案：C 解析：在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝7， 由正弦定理＝， 所以AD＝＝7(米)， 在Rt△ABD中，∠BDA＝71.