6.3 等比数列课件-2023届高三数学一轮复习

第三节　等比数列 【课标标准】　1.理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系． 知识梳理 1.等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_______都等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示(显然q≠0)．数学表达 式为________(n≥2，q为非零常数)． (2)等比中项 如果在a和b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时G2＝________． 比 同一个常数 公比 ＝q ab 2．等比数列的通项公式与前n项和公式 (1)通项公式：an＝________． (2)前n项和公式：Sn＝ 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广公式：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝________． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为________． (4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk. (5)当n为偶数时，S偶∶S奇＝q. a1qn－1 na1 am·an qm [常用结论] (1)若等比数列的前n项和Sn＝A·qn＋B，则A，B满足的关系式为A＋B＝0. (2)三个数成等比数列可设三个数分别为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数分别为，bq，bq3. (3)若或时，则等比数列{an}是递增数列； 若或时，则等比数列{an}是递减数列． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数．(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　　) × × × × 2．(教材改编)等比数列的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　) A．179 B．211 C．243 D．275 答案：B 解析：设公比为q， 因为a1＝81，a5＝16，所以q4＝＝＝，且q>0， ∴q＝，∴S5＝＝＝211.故选B. 3．(教材改编)若数列为等差数列，则数列为________数列；若数列为等比数列，且an>0，则数列为________数列． 等比 等差 解析：若数差为等差数列，设其公差为d，则＝＝为等比数列；若数列为等比数列，设其公比为q，则lg an＋1－lg an＝lg ＝lg q， ∴为等差数列． 4．(易错)等比数列中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　) A．±4 B．4 C．± D． 答案：A 解析：设a4与a8的等比中项是x.由等比数列的性质可得＝a4a8，所以x＝±a6.所以a4与a8的等比中项x＝＝±×25＝±4.故选A. 5．(易错)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 2 解析：由题意，得 解得， 所以q＝＝＝2. 题型一　等比数列基本量的运算 例1 (1)[2023·安徽马鞍山模拟]等比数列中，已知a1＋a4＝9，a2＋a5＝18，则S5＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．127 答案：A 解析：因为等比数列中，已知a1＋a4＝9，a2＋a5＝18，设等比数列公比为q， 所以a2＋a5＝q＝9q＝18，解得q＝2， 所以a1＋a1q3＝a1＋a1×23＝9，解得a1＝1， 所以S5＝＝31.故选A. (2)[2023·湖北黄冈模拟]已知等比数列的前n项和为Sn，若S3＝4，S6＝12，则S12＝(　　) A．32 B．28 C．48 D．60 答案：D 解析：由S3＝4，S6＝12可知公比q≠1，所以＝＝⇒1＋q3＝3⇒q3＝2， 因此＝＝1＋q6＝1＋22＝5⇒S12＝5S6＝5×12＝60.故选D. (3)[2023·河南开封模拟]在等比数列中，Sn为其前n项和，若a3＝3，S3＝9，则的公比为________． 1 解析：当q＝1时，满足a3＝3，S3＝9，此时an＝3； 当q≠1时，由a3＝3，S3＝9， 可得：，解得，此时an＝12×n－1. 综上所述，公比q的值为1或－. 题后师说 等比数列