8.7 双曲线及其性质课件-2023届高三数学一轮复习

第七节　双曲线及其性质 【课标标准】　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用． 知识梳理 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________． 差的绝对值 焦点 焦距 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 ____________ ____________ 对称性 对称轴：________，对称中心：________ 顶点 ____________ ____________ 渐近线 ____________ ____________ 离心率 e＝∈____________ 实轴与虚轴 实轴|A1A2|＝________；虚轴|B1B2|＝________；实半轴长________，虚半轴长________ a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0) x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) y＝±x y＝±x (1，＋∞) 2a 2b a b a2＋b2 [常用结论] (1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. (3)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. (4)与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　) (2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　) (3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　) (4)关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　) × √ √ × 2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 答案：C 解析：由题意，＝1的渐近线方程为y＝± x＝±x. 故选C. 3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________． ＝1 解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0) 代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ， 解得λ＝15， 所以所求双曲线的方程为＝1. 4．(易错)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________． 6 解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2， ∴a＝1，b＝4. 则||PF1|－|PF2||＝2， 可设|PF2|＝4， 则|PF1|＝2或|PF1|＝6， ∵c＝>4，∴|PF1|>2， ∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6. 5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________． 2 解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝， 当＝时，e＝＝＝2； 当＝时，e＝＝ ＝. 题型一　双曲线的定义及应用 例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程(　　) A．x2－＝1(x≤－1) B．x2－＝1 C．x2－＝1(x≥1) D．－x2＝1 答案：A 解析：如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3， 则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 故选A. (2)[2023·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为3，焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上．若△AF1F2的周长为14a，则△AF1F2的面积是(