第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性课件-2023届高三数学一轮复习

第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性 【课标标准】　 1.了解函数奇偶性的含义. 2.结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义． 知识梳理 1.函数的奇偶性   偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有__________，那么函数f(x)就叫做偶函数 都有___________，那么函数f(x)就叫做奇函数 图象特征 关于________对称 关于________对称 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个________就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 最小正数 [常用结论] 1．函数奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (5)只有f(x)＝0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数． 2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为非零常数)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝±，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝f(x－b)，则T＝a＋b. 3．对称性的四个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． (4)若y＝f(x)对任意的x∈R，都有f(a－x)＝f(b＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；若有f(a－x)＝b－f(x)，即f(a－x)＋f(x)＝b，则函数y＝f(x)的图象关于点中心对称． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(　　) × × √ √ 2．(教材改编)(多选)下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x4　 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 答案：BC 解析：由奇函数的定义可知BC为奇函数． 故选BC. 3．(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________． (－2，0) 解析：由奇函数的图象特征可知f(x)在[－5，5]上的图象，如图 ∴f(x)<0的解集为(－2，0) 4．(易错)关于函数f(x)＝与h(x)＝的奇偶性，下列说法正确的是(　　) A．两函数均为偶函数 B．两函数都既是奇函数又是偶函数 C．函数f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数 D．函数f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数 答案：D 解析：函数f(x)＝的定义域满足即x2＝4，因此函数f(x)的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f(x)＝0，满足f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．而函数h(x)＝的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h(x)是非奇非偶函数． 故选D. 5．(易错)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1 ＋x)，则f(x)的解析式为____________________． f(x)＝ 解析：当x<0时，则－x>0， ∴f(－x)＝(－x)(1－x)＝－x(1－x)， 又f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x(1－x)，即f(x)＝x(1－x)． 题型一　函数的奇偶性 角度一 判断下列函数的奇偶性 例 1 (1)f(x)＝x4＋3x2，