第一节 计数原理与排列组合课件-2023届高三数学一轮复习

第一节　计数原理与排列组合 【课标标准】　1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题． 知识梳理 1.两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． (2)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法． 2．排列与组合的概念 (1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． m＋n m×n 一定顺序 作为一组 3．排列数与组合数公式 (1)排列数公式 ＝_____________________________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定0！＝1. (2)组合数公式 ＝__________________＝________(n，m∈N*，且m≤n)．规定＝1. 4．排列数与组合数的性质 ；＝；；＝. n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） [常用结论] 1．两个计数原理的区别与联系 2.解受条件限制的排列、组合问题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．   分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　) (2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　) (3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　) (4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　) × √ × √ 2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是(　　) A．12　　　B．24　　　 C．64　　　D．81 答案：B 解析：从4本书中选3本有4种选法，把选出的3本书送给3名同学，有6种送法，所以不同的送法有：4×6＝24(种)．故选B. 3．(教材改编)用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________． 48 解析：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有＝2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个，有＝4×3×2＝24种排法，由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48个． 4．(易错)6名同学争夺3项冠军，不同的结果有________种．(用具体数字作答) 216 解析：每一项冠军的情况都有6种，故6名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是63＝216(种)． 5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________． 30 解析：分以下2种情况： (1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有种不同的选法． (2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有种不同的选法． 所以不同的选法共有＝18＋12＝30(种)． 题型一　两个计数原理 例 1 (1)[2023·广东广州模拟]如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为(　　) A．480　　B．600　　C．720　　D．840 答案：C 解析：依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类： 若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法， 最后涂湖南有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180种， 若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法， 涂江西、湖南也各有3种方法，由分步乘法计数原理得不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540 种方法， 所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720种． (2)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) ①每人恰