第三节 平面向量的数量积课件-2023届高三数学一轮复习

第三节　平面向量的数量积 【课标标准】　 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. 2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，能用坐标表示平面向量垂直的条件. 4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面的夹角. 5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 知识梳理 1．数量积的有关概念 (1)向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作________． (2)数量积的定义 已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝________． ∠AOB a⊥b |a||b|cos θ |a||b|cos θ (3)投影向量：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 2．平面向量数量积的性质 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. a·b＝|a||b|cos θ＝____________，|a|＝＝____________， cos θ＝＝__________________，a⊥b⇔a·b＝0⇔___________． 3．平面向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ. (1)交换律：a·b＝________； (2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝________(λ∈R)； (3)分配律：(a＋b)·c＝________． x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 b·a a·(λb) a·c＋b·c [常用结论] (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. (3)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立)． (4)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立)． (5)若＝λ()，则AP所在直线为∠BAC的平分线． 夯实双基 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量的数量积是一个向量．(　　) (2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　) (3)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(　　) × √ × × 2．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ＝(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 答案：A 解析：∵cos θ＝＝＝， ∴θ＝45°. 故选A. 3．(教材改编)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(m，2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________． 解析：因为a⊥b，故2m－2＝0，m＝1，故a＋b＝(3，1)， 故|a＋b|＝. 4．(易错)已知在△ABC中，·>0，则△ABC的形状是________三角形． 钝角 解析：由·>0，得角A的补角为锐角，所以角A为钝角，所以△ABC为钝角三角形． 5．(易错)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的取值范围为________________． (0，2) 解析：由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹角为锐角，则x×1＋(－4)×(－x)>0且≠，解得x>0且x≠2，即x的取值范围为(0，2) 关键能力·题型突破 题型一　平面向量数量积的运算 例 1(1)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上投影向量是4e，则a·b为(　　) A．12 B．8 C．－8 D．2 答案：A　 解析：a在b方向上投影向量为|a|cos θ·e＝4e， ∴|a|cos θ＝4，∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3＝12. 故选A. (2)[2023·河南南阳模拟]如图，在正六边形ABCDEF中，若||＝2，G为CD的中点，则·＝(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 答案：B 解析：如图，延长AB，DC交于点H， 则∠ABC＝120°，∠BHC＝60°， 所以·＝·()＝||2＋·· ＝4＋2×2cos 60°＋2×1cos 120°＝5. 故选B. (3) [2023·广东广州模拟]如图放置的边长为2的正方形ABCD顶点A，D分别在x轴