2023年中考数学一轮复习（基础篇）：切线的证明

2023年中考数学一轮复习（基础篇）：切线的证明 1．如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且. （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长. 2．如图，D为 上一点，点C在直径BA的延长线上，且 ． （1）判断直线CD与 的位置关系，并说明理由． （2）过点B作的 切线交CD的延长线于点E，若 ， ，求 的半径长． 3．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB. （1）求证：AB是圆的切线； （2）若点E是BC上一点，已知BE＝4 ，tan∠AEB＝ ，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径. 4．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是 的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若DH＝9，tanC＝ ，求直径AB的长． 5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BCD＝∠A，CD与AB的延长线交于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CE＝2，DE＝4，求AC的长． 6．如图，A、B是 上的两点， ，点D为劣弧 的中点. （1）求证：四边形AOBD是菱形； （2）延长线段BO至点P，交 于另一点C，且BP=3OB，求证：AP是 的切线. 7．如图，AB是 的直径，点C是 外一点，连接AC，BC，AC与 交于点D，弦DE与直径AB交于点F， . （1）求证：BC是 的切线； （2）若 ， ， ，求CD的长. 8．如图，为的内接三角形，为的直径，点D为上一点，且，过点D作交的延长线于点E. （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径. 9．如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD交⊙O于点E，交AC于点F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8. （1）求证：AB CD； （2）求证：CD是⊙O的切线； 10．如图，四边形中，连接，，以为直径的过点B，交于点E，过点E作于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长．（结果保留） 11．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，BC.OE∥BC交AC于E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交AB的延长线于点F. （1）求证：DC是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，AB＝4，直接写出线段CF的长. 12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）判断四边形AOCD的形状，并说明理由． 13．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，CD＝4，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）求PD的长． 14．如图，已知是的直径，，连接，弦，直线交的延长线于点E. （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径. 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心作⊙A与BC相切于D，交AB于点F，在BC上取点E，使CE＝AC，连接EA，EF． （1）求证：EF是⊙A的切线； （2）若BE＝5，EF＝4，求点C到EA的距离． 16．如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E. （1）求证：直线EC为圆O的切线； （2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P， ①求证：PC2＝PF•PA ②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值. 答案解析部分 1．【答案】（1）与的位置关系是相切，理由如下， 连接OB，如图所示： ， ，， ， ， ，即， ， ， 为半径，经过点O， 直线与的位置关系是相切. （2）解：分别作交AB于点M，交AB于N，如图所示： ， ， ，， ，， ， ， ， ， . 2．【答案】（1）解：直线CD和 的位置关系是相切， 理由是：连接OD， 是 的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 已知D为 的一点， 直线CD是 的切线， 即直线CD和 的位置关系是相切 （2）解： ， ，过点B作的 切线交CD的延长线于点E， ， 根据切线长定理可得： ， ， 设 的半径是x， ， ， ∽ ， ， 即 ， 解得： ， 即 的半径长为 ． 3．【答案】（1）证明：∵BC是直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ACB＋∠DBC＝ 90°， 又∵∠ABD＝∠ACB， ∴∠ABD＋∠DBC＝90°， ∴AB⊥BC.