2023年九年级数学中考复习专题十 反比例函数学案

第10讲 反比例函数 知识点一 反比例函数的定义 1．一般地，形如y＝ (k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数． 其中反比例函数的自变量x的取值范围是不为零 的一切实数． 2．反比例函数解析式的三种形式 (1)y＝ (k为常数，k≠0)． (2)y＝kx-1(k为常数，k≠0)． (3)xy＝k (k为常数，k≠0)． 知识点二 反比例函数的图象和性质 1．图像：反比例函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象是 ，它有两个分支且关于 对称． 因为ｘ≠０，，ｙ≠０，所以反比例函数的图象无限接近ｘ轴和ｙ轴，但不会与ｘ轴、ｙ轴相交. 2．图象与性质 例1：(2022·云南)反比例函数y＝的图象分别位于(　　) A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 例2：(2022·天津)若点A(x1，2)，B(x2，－1)，C(x3，4)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x1＜x3 知识点三 反比例函数中系数 ｋ 的几何意义 1．如图，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S＝PN•PM=|xy|＝|k|． 此类问题主要考察反比例函数图像上的点与坐标轴围成的四边形或三角形的面积，如下图所示： ２.与双曲线上的点有关的图形面积 S△AOP＝ |k| S△OBP＝ |k| S△APP′＝2|k| S△ABC＝|k| S矩形OAPB＝|k| S平行四边形ABCD＝|k| 例3：(2022·日照)如图，矩形OABC与反比例函数y1＝ (k1是非零常数，x>0)的图象交于点M、N，与反比例函数y2＝ (k2是非零常数，x>0)的图象交于点B，连接OM，ON.若四边形OMBN的面积为3，则k1－k2＝(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 例4：(2022·泰安)如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA＝2，tan A＝，反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，与AC交于点D. (1)求k值； (2)求△OBD的面积． 知识点四 求反比例函数的表达式 由反比例函数ｙ＝ ( ｋ≠０) 的表达式中只有一个待定系数ｋ可知，只需已知一组对应值或图象上一点的坐标即可求出ｋ的值. 例5：(2022·南充)如图，直线AB与双曲线交于A(1，6)，B(m，－2)两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C，连接AC. (1)求直线AB与双曲线的解析式； (2)求△ABC的面积． 知识点五 反比例函数的应用 （见反比例函数应用题归类） 【题型解析】 一次函数与反比例函数综合题型（数形结合） 1、图像共存问题 这类型的题型特点就是在题目提供的一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。 常用方法：先假定其中一个函数（通常选取一次函数）图像正确，利用推知的字母取值范围去判断另一个函数图像是否正确。 这类题型连同二次函数在内的题型进行考察也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。 例1：一次函数y＝ax－a与反比例函数y＝(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(　　) 模拟训练 1.（2022济南一模）在同一坐标系中，函数y=和y=kx-k的图像可能是（ ） 2.（2022·襄阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一坐标系中点图像可能是（ ） 3.（2022·菏泽）如图所示二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，判断反比例函数y=与一次函数y=bx+c的图像大致是（ ） 2、交点问题 （1）交点与不等式 这类问题的呈现方式主要以不等式的解集的求解来进行呈现，而满足条件的不等式的左右两边为一次函数或反比例函数的形式来存在，所以我们可以通过这类型不等式的左右两边的函数图像来进行判定是大小情况，从而通过其函数的交点来确定图像的位置，满足的解集。 常用方法：利用两个交点将自变量取值范围分为x＜x1、x1＜x＜0,、0＜和x＞x2四部分，在每一个区间内谁的图像上方，谁的函数值大，交点处函数值相等。 例2：(2022·荆州)如图是同一直角坐标系中函数y1＝2x和y2＝的图象．观察图象可得不等式2x＞的解集为(　　) A．－1＜x＜1 B．x＜－1或x＞1 C．x＜－1或0＜x＜1