专题04 相似三角形的存在性-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练 （上海地区专用）

专题04 相似三角形的存在性 目录 最新模考题热点题型归纳 【题型一】 相似三角形的存在性 【题型二】 圆和相似三角形 【题型三】 双等角模型 【题型四】 345模型 【题型一】 相似三角形的存在性 【典例分析】 1．（2023浦东新区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，tanC＝，点D是斜边AC上的动点，联结BD，EF垂直平分BD交射线BA于点F，交边BC于点E． （1）如图，当点D是斜边AC上的中点时，求EF的长； （2）联结DE，如果△DEC和△ABC相似，求CE的长； （3）当点F在边BA的延长线上，且AF＝2时，求AD的长． 【提分秘籍】 相似三角形存在性问题，分类讨论步骤： 第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角； 要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出） ①若有已知的相等角，则其顶点对应； ②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。 第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标： ①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； ②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后用相似来列方程求解。 【变式演练】 1．（2023杨浦区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，AC＝3，BC＝4，点Q是CB延长线上的一动点，过点Q作QP⊥CD，交CD的延长线于点P． （1）当点B为CQ的中点时，求PD的长； （2）设BQ＝x，PD＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BDF和△ABC相似时，求BQ的长． 2．（2023徐汇区一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F． （1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值； （2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及x的取值范围； （3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长． 3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边在外作正方形，分别联结、，与交于点． （1）当时，求正方形的面积； （2）延长交于点，如果和相似，求的值； （3）当时，求的长． 4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为边上一点，，过点E作，垂足为点G，交射线于点F． （1）如果点D为边的中点，求的正切值； （2）当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结如果与相似，求线段的长． 5. （2021松江一模）如图，已知在等腰中，，，，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合） （1）求边BC的长； （2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果，求线段AD的长； （3）过点D作，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果和相似，求线段BD的长． 【题型二】 圆和相似三角形 【典例分析】 （2022•徐汇区二模）如图，AB为半圆O的直径，点C在线段AB的延长线上，BC＝OB，点D是在半圆O上的点（不与A，B两点重合），CE⊥CD且CE＝CD，联结DE． （1）如图1，线段CD与半圆O交于点F，如果DF＝BF，求证：； （2）如图2，线段CD与半圆O交于点F，如果点D平分，求tan∠DFA； （3）联结OE交CD于点G，当△DOG和△EGC相似时，求∠AOD． 【提分秘籍】 [圆中相似思路] （1） 利用圆周角定理等尽可能找相等角，两组角相等即可证全等: （2） 若有相等线段转化线段，问题中的线段可能并非相似三角形中的线段 （3） 确定相等线段、角之后，猜想可能存在的相似并证明. 【变式演练】 1.【2021宝山二模】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、点C，AC与BD交于点P． （1）如果AB＝3，CD＝5，以点P为圆心作圆，圆P与直线BC相切． ①求圆P的半径长； ②又BC＝8，以BC为直径作圆O，试判断圆O与圆P的位置关系，并说明理由． （2）如果分别以AB、CD为直径的两圆外切，求证：△ABC与△BCD相似． 2.【2021虹口二模】（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanA=,AC=5，点M是射线AB上一点，以MC为半径的⊙M交直线AC于点D． （1）如图9，当MC=AC时