3.4.1相似三角形的判定（2）课件　2022—2023学年湘教版数学九年级上册

3.4.1 相似三角形的判定（2） 湘教版九年级上册 教学目标 1. 理解和掌握相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两 个三角形相似. 2. 能利用相似三角形的判定定理1判定两个三角形相似. 3. 能用证明三角形相似的方法解决三角形中角和边的问题. 4. 提高推理能力，锻炼几何语言表达能力，提高学习自信. 温故知新 1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC=2∶3， BC=30，则DE的长是（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 18 B 思路：先根据DE∥BC判定△ADE∽△ABC，由AE∶EC=2∶3得出AE∶AC=2∶5，再根据相似三角形的对应边成比例，即可求出DE的长是12，故选B. A B C D E 新知导入 2. 相似三角形的角和边有什么性质？ 3. 如何根据三角形边的位置判定两个三角形相似？ 通过平移、旋转、轴反射等图形变换，如果能把两个三角形一个角的顶点及两边重合，而另一边恰好平行，那么这两个三角形相似. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 即：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 新知讲解 任意画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′. (1) ∠C=∠C′吗？ (2) 分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？ (3) 把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？ 做一做 新知讲解 (1)∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′； (2)这两个三角形的对应边成比例； 由此我发现：△ABC∽△A′B′C′. A B C A′ B′ C′ 新知讲解 下面我们来证明： 如图，在△ABC和△A′B′C′中， 已知∠A=∠A′，∠B=∠B′. 在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E. 我们知道“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”，如果在△A′B′C′中，作DE∥B′C′，能构造一个三角形证明△ABC∽△A′B′C′吗？ 新知讲解 又 DE∥B′C′， ∴ △A′DE∽△A′B′C′. ∴ △ABC∽△A′B′C′. 在△A′DE与△ABC中， ∵ ∠A=∠A′ ， A′D =AB， ∠A′DE=∠B′=∠B， ∴ △A′DE≌△ABC. 新知讲解 由此得到相似三角形的判定定理1： 两角相等的两个三角形相似. 例题教学 例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，从点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H. 求证：△DEH∽△BCA. 思路 先由DF⊥BC，∠C=90°证DF∥AC，得∠BHF=∠A，从而得∠DHE=∠A；再由DE⊥AB得∠DEH=90°=∠C，即可证△DEH∽△BCA. 例题教学 证明 ∵ ∠C=90°，∴ DF⊥BC， ∵ DF⊥BC，∴ DF∥AC. 而 ∠BHF=∠DHE， ∴ ∠BHF=∠A. ∴ ∠DHE=∠A. 又 DE⊥AB，∴ ∠DEH=90°=∠C. ∴ △DEH∽△BCA(两角分别相等的两个三角形相似). 例题教学 例4 如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°， ∠F=90°. ∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长. 思路 先证△DEF∽△ABC，再根据“相似三角形的对应边成比例”的性质，列出相应的比例式，即可求出EF的长. D F E A C B 解 ∵ ∠C=90°，∠F=90°，∠A= ∠D， ∴ △ABC∽△DEF. 又 AB=5，BC=4，DE=3， ∴ EF=2.4. 例题教学 ∴ 课堂练习 1. 在Rt△ABC中，AD⊥BC，则图中的相似三角形共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 C 提示：根据“两个角对应相等的两个三角形相似”，找出都有一个直角且有一个锐角相等(有一组锐角互余也可推出一个锐角相等)的两个三角形，即为一对相似三角形. A B C D 课堂练习 2. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，且∠ADC=∠ACB，则下列结论正确的是（ ） A. △ADC∽△ACB B. △ADC∽△BDC C. △BDC∽△BCA