7.4.2 超几何分布 课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 1.二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X～B(n，p) 若X～B(n, p)，则有 2.二项分布的均值与方差： 温故知新： 问题引入 问题1：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时服从二项分布，即. 思考1：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？如果不服从，那么的分布列是什么？ 采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布. 新知探索 问题1：已知100件产品中有8件次品，用不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 可以根据古典概型求的分布列.由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任选4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识，得的分布列为 计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示. 2 3 4 一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为 超几何分布: 其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布. 概念形成 注意：(1) “由较明显的两部分组成”： 如“男生、女生”， “正品、次品”; (2) 注意分布列的表达式中，各个字母的含义及随机变量的取值范围. N—总体中的个体总数 M—总体中的特殊个体总数 (如次品总数) n—样本容量 k—样本中的特殊个体数 （如次品数) 例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解: 设X表示选出的5名数学中含甲的人数(只能取0或1), 则X服从超几何分布 , 且N=50 , M=1 , n=5 , 因此甲被选中的概率为 容易发现，每个人被抽到的概率都是. 这个结论非常直观，这里给出了严格的推导. 超几何分布与二项分布有什么不同之处与相似之处？ 超几何分布需要知道总数N，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)；当总数N非常大时，超几何分布近似于二项分布． 辨析概念 超几何分布 二项分布 试验类型 抽样 抽样 试验种数 有 种物品 有 种结果 总体个数 个 个 随机变量取值的概率 利用 计算 利用 计算 联系 当 时，超几何分布 二项分布 不放回 放回 两 两 有限 无限 古典概型 独立重复试验 总体N很大 近似 超几何分布与二项分布的联系与区别： 设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为 例5：一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件 进行检测，求至少有1件不合格的概率. 解： ∴至少有1件不合格的概率为： 若随机变量X服从超几何分布，则有 2.超几何分布的均值 下面对均值进行证明. 证明：令m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 由随机变量的定义： 当m>0时， 当m=0时，类似可以证明结论依然成立. 若随机变量X服从超几何分布，则有 例6.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列； 解(1)：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，的分布列为 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解(2)：利用统计软件计算出两个分布列的概