2023年中考数学压轴题型：阿氏圆问题训练

2023年中考压轴模型：阿氏圆 1．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0）， ∴OA=12，OD=4，则AD=8，AC=4， 取E（-10，0），则AE=2，DE=6， 在△AEC和△ACD中， ∠CAE=∠DAC，， ∴△AEC∽△ACD， ∴，即CE=CD， 则BC+CD=BC+CE≥BE， 即BC+CD的最小值为BE的长， 即为=， 2．在中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接OP，取OC中点为M，连接PM，BM， ∵圆O半径为4，点P为劣弧CD上一动点， ∴OC＝OP＝4， 又∵点M为OC中点， ∴， ∵，∠MOP＝∠POA， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点B、P、M三点共线时，最小值为BM， ∵∠AOB＝90°， ∴， 又OM＝2，OB＝10， ∴， ∴最小值为， 3．在中，，，，以点为圆心，2为半径作圆，分别交，于、两点，点是圆上一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接 ∵， ∴，又 ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 4．如图，在中，，，，半径为2，P为圆上一动点，则的最小值＝_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接，在上取点D，使，连结， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点A，P，D在同一条直线时，的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 5．在中，为内一动点，满足，写出的最小值. 【答案】. 【详解】的最小值为， 提示：，， 的最小值为. 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． （I）求抛物线的解析式及顶点坐标； （II）以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值． 【详解】（I）∵ ，， ∴． ∴抛物线的解析式为 ． ∴， ∴抛物线的顶点坐标为；     （II）如图，连接，在上截取，使得， 连接，，此时，．   ∵，， ∴． ∴，即． ∴． ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值． ∴， ∴的最小值为． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． 点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值． 【详解】解：如图3，连接，，在轴截取，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 上、、三点共线时，的值最小， 在中， ， 即的最小值时． 8．如图，平面直角坐标系中，在轴、轴上分别有点，，动点在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，求的最小值． 【详解】解：如解图，在轴上取一点，连接，，．则 ，，， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∴， 当点，，三点共线时，的值最小，为的长． ∵． ∴当为与圆的交点时，有最小值为． 9．如图，已知抛物线的解析式为与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，点的坐标为（2，0），绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴，． ∵点的坐标为（2，0）， ∴点的运动轨迹为以原点为圆心，以2为半径在第一象限的圆弧． 如解图，在轴上取一点，连接，，．则 ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． ∴． 当、、三点共线时，的值最小，为的长． ∵． ∴当为与圆弧的交点时，有最小值为． 10．如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A（-4，-4），B（0，4）两点，直线AC：y=-交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点EF∥y轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）直接写出抛物线y=-x2+bx+c的解析式为_______； （2）在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； （3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求AM+CM的最小值． 【详解】解：（1）将点代入抛物线解析式可得： ，解得，抛物线的解析式为 （2）设直线解析式为 将代入得，解得 由题意可得： 设，，则 ∵，， ∴为直角三角形， 结合图形可得，以A，E，F，H为顶点的矩形为矩形，为矩形的对角线 由矩形的性质可得，线段的中点重合 则， 解得， ∴， 由E点坐标可知，E在x轴上 （3）取的中点，如下图： 由（2）可知，，， ∴ ∴ 连接交圆于点，连接 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴，当三点共线时，等号成立 设， 化简得 解得或（舍去，在点的左边）