6.3.1.2 二项式定理的应用课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学 第六章 计数原理 §6.3.1.2 二项式定理应用 二项式定理 (a+b)n= Cn0an +Cn1an-1b+Cn2an-2b2 +…+Cnkan-kbk….+Cnnbn (n∈N*) 二项式展开式 通项公式: 说明:它可表示二项展开式中的任意项,只要n与k确定,该项也随即确定; 展开式的特征: (1) 展开式共有( )项 (2)各项指数按a的( )排列,按b的( )排列. (3) an-kbk是第( )项。 二项式系数: n+1 降幂 k+1 升幂 表示第k+1项 复习回顾 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)的展开式中共有n项.( ) (2)二项式与的展开式的第项一定相同.( ) (3)是的展开式的第项.( ) (4)与的二项展开式的二项式系数相同.( ) × × × √ 二项式定理中a,b的位置不能调换 概念辨析 例题1(1)求(1+2x)7的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数; (2)求 的展开式中x2的系数。 因此,展开式第4项的系数是280. 第4项的系数是 解:(1)(1+2x)7的展开式的第4项是: T3+1 (2) 的展开式的通项是 要区分二项式系数与系数的区别与联系 例题2 已知. (1)求展开式的通项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中所有的有理项. 解:(1)通项为 . 解:(2)令,即: 例题2 已知. (1)求展开式的通项; (2)求展开式的常数项; (3)求展开式中所有的有理项. 解:(1)通项为 . 解:(5)根据题意得所以的值可以为2,,, 所以展开式的第3项、第6项与第9项为有理项, 它们分别为,,, 即,, 系数为有理数,次数为整数的项叫做有理项 常常能全部列举出来 求二项展开式的特定项的常见题型: (1)求第项; (2)求含的项(或含的项); (3)求常数项; (4)求有理项. 对于有理项,是指通项中字母的指数恰好都是整数的项.解决这类问题,令指数属于整数,再根据数的整除性来求解(常能全部列举出来). 隐含条件是字母的指数为0(即次项) 通性通法 直接用通项公式求解,化简时要熟练应用指数幂的运算 例题3 的展开式中的系数为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m> [解析] 因为, 所以展开式中的系数为. A 方法小结:求两个二项式乘积的展开式的特定项问题的方法: (1)分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点; (2)找到构成展开式中特定项的组成部分; (3)分别求解再相乘,求和即可. 课本P34 2.的展开式中的系数 . 0 例题4 在的展开式中,含的项的系数为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> </m> C [解析] 方法一:, 通项为: 令r=2,10-2r-k=4,则k=2 所以的展开式中含的项的系数为. 方法二:表示5个相乘. 含的项是在5个中选1个,选2个,选2个相乘得到的, 因此含的项的系数为. 通项公式法,将三项式变成二项式定理展开,要用两次通项。计算量较大 组合法,需要掌握合适的组合方式,使解题更便捷 巩固练: 1. 在的展开式中,含的项的系数为_. <m></m> [解析] 表示5个相乘. 含的项是在5个中选1个,选4个2相乘得到的,即, 所以的展开式中含的项的系数为240. 三项或三项以上的多项式乘积的展开式的特定项问题的方法: (1)因式分解法:通过分解因式将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开. (2)利用组合知识:把三项式看成几项的积,利用组合知识分析项的构成,注意最后应把各个同类项合并. 通项公式法,将三项式变成二项式定理展开,要用两次通项。计算量较大。 懂得分析所求项的组合方式,这种解题方法更便捷,对思维要求较高。 通性通法 例题5 若今天是星期二,则经过7天后还是星期二,那么经过天后是( ) A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 [解析] 由已知可得, 即除以7的余数为1,所以经过天后是星期三.故选C. C 要进行合理的变形,使二项式中含有除数 例题6 的近似值(精确到0.01)为( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> B [解析] </m> .故选B. 例题7 用二项式定理证明能被8整除。(提示:=) [解析] = 课本P38 因为每一项都能整除8,故原式能被8整除。 整除和求近似值问题方法: 利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题,在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都为含有除式(数)的因式,要注意变形的技巧,注意余数应该是非负数. 通性通法 例题8 化简: <m></