4.1正弦和余弦（3）课件2022-2023学年湘教版 数学九年级上册

4.1 正弦和余弦（3） 湘教版九年级上册 教学目标 1. 理解直角三角形的一个锐角的邻边与斜边是一个常数； 2. 能准确理解余弦的函数含义，掌握正弦的概念. 3. 学会求一个锐角的余弦值的方法并能熟练计算. 4. 能灵活运用正弦或余弦解决求直角三角形的边的问题. 温故知新 1. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上的一点，DE⊥AB，若AD=2DE，则sinB的值是（ ） A. B. C. D. C 温故知新 2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(5，4)，则sinα的值是（ ） A. B. C. D. D 新知讲解 如图4-7，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？ 探究 新知讲解 ∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°， ∴ ∠B=∠F. ∴ sinB=sinE. ∴ 新知讲解 这说明，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 新知讲解 如图4-8，在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα，即 cosα= 角α的邻边 斜边 新知讲解 如图4-8，因为∠B(90°-α)邻边也是∠A(∠α)的对边，所以cos(90°-α)=sinα.类似的道理，可得sin(90°-α)=cosα. 因此，对于任意锐角α，有 cosα=sin(90°-α)， sinα=cos(90°-α). 即任意一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值； 任意一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值. 例题教学 例3 求cos30°，cos45°，cos60°的值. 思路 因为一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，所以可以把题中各角的余弦分别转化为它们的余角即60°，45°，30°的正弦来计算. 解：cos30°= sin(90-30°)=sin60°=， cos45°= sin(90-45°)=sin45°=， cos60°= sin(90-60°)=sin30°=. 新知讲解 对于一般锐角α(30°，45°，60°除外)的余弦值，我们可用计算器来求. 例如求50°角的余弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.6427…. cos 5 0 新知讲解 如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角. 例如，已知cosα=0.8661，依次按键 ，显示结果为29.9914…，表示角α约等于30°. 6 6 . 2ndF cos 0 8 1 新知讲解 利用计算器计算： (1)cos15°≈ (精确到0.0001)； (2)cos50°48′≈ (精确到0.0001)； (3)若cosα=0.9659，则α≈ (精确到0.1°)； (4)若cosα=0.2588，则α≈ (精确到0.1°). 做一做 0.6428 0.2672 31.5° 54.0° 例题教学 例4 计算：cos30°-cos60°+cos²45°. cos30°-cos60°+cos²45° 解： 课堂练习 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则cosB的值为（ ） A. B. C. D. C 课堂练习 2. 若α是锐角，cosα=，则sin(90°-α)的值是（ ） A. B. C. D. A 课堂总结 1. 什么叫作余弦？记作什么？ 在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα. 2. 互为余角的两个锐角的正弦和余弦有什么关系？ 任意一个锐角的余弦值等于这个角的余角的正弦值； 任意一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值. 即 cosα=sin(90°-α)，sinα=cos(90°-α).