3.7.1 第1讲　坐标系与参数方程课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

第1讲　坐标系与参数方程 考点一　极坐标方程的应用——“极”“直”要统一，“ρ”“”用意义 1．极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立： 顺便指出，上式对ρ<0也成立．(一般认为ρ≥0) 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 2．圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R. (2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos θ. (3)圆心在点处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. 例 1 [2022·河南安阳模拟预测]在直角坐标系xOy中，⊙C1的圆心为C1(1，1)，半径为.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)求C1的极坐标方程，判断C1，C2的位置关系； (2)求经过曲线C1，C2交点的直线的斜率． 解析：(1)由题意，⊙C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，故C1的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ，又⊙C2的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，(x－)2＋y2＝2.因为C1C2＝ ＝ ， C1，C2半径相等，半径和为2，且C1C2＝ <＝2<2，故C1，C2相交． 故C1的极坐标方程ρ＝2cos θ＋2sin θ，C1，C2相交． (2)由(1)C1：ρ＝2cos θ＋2sin θ，C2：ρ＝2cos θ均经过极点且相交，联立有2cos θ＋2sin θ＝2cos θ，显然cos θ≠0，故2＋2tan θ＝2，即tan θ＝－1，即经过曲线C1，C2交点的直线的斜率为－1. 归纳总结 1．求曲线的极坐标方程的一般思路 求曲线的极坐标方程问题通常可利用互化公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程，熟练掌握互化公式是解决问题的关键． 2．解决极坐标问题的一般思路 一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标． 对点训练 [2021·全国乙卷]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1. (1)写出⊙C的一个参数方程； (2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程． 解析：(1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1， 则⊙C的参数方程为(α为参数)． (2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以＝1，解得k＝±， 则这两条切线方程分别为y＝x－＋1，y＝－x＋＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为ρsin θ＝ρcos θ－＋1，ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1. 即ρcos θ－ρsin θ－4＋＝0，ρcos θ＋ρsin θ－4－＝0. 考点二　参数方程的应用——引“参”用其意义，消“参”化为坐标 1．直线的参数方程 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t是参数)． 设P是直线上的任意一点，则|t|表示有向线段的长度． 2．圆的参数方程 圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)． 3．椭圆的参数方程 椭圆＝1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数)． 例 2 [2022·全国甲卷]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(s为参数)． (1)写出C1的普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标． 解析：(1)C1的参数方程为 消去参数t，得C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)． (2)曲线C3的极坐标方程为2cos θ－sin θ＝0， 两边同乘ρ，得2ρcos θ－ρsin θ＝0， 则C3的直角坐标方程为y＝2x. 联立得方程组解得或 将曲线C2的参数方程中的参数s消去，得y2＝－6x－2(y≤0)． 联立得方程组解得或 所以C3与C1交点的直角坐标为和，C3与C2交点的直角坐标为和(－1，－2)． 归纳总结 1．参数方程化为普通方程消去参数的方法 (1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法； (2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法；(3)常见消参数的关系式：①t·＝1；②－＝4；③＋＝1. 2．直线的参数方程中参数几何