4.1 第1讲　四大数学思想(解题有道)课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

第1讲　四大数学思想(解题有道) 一　函数与方程思想——求解数学问题最常用的工具 函数思想 方程思想 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 应用 1　借助“函数关系”解决问题 在方程、不等式、三角、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． 例 1 已知复数z的模为1，复数w＝z2＋3z.则在复平面内，复数w所对应的点与点(4，0)的距离的最大值是(　　) A．6 B． C．3 D．2 答案：B 解析：∵|z|＝1，∴可设z＝cos θ＋isin θ，∴w＝cos 2θ＋isin 2θ＋3cos θ＋3isin θ， ∴w对应的点坐标为(cos 2θ＋3cos θ，sin 2θ＋3sin θ)， ∴w对应的点与(4，0)的距离 d＝， ∴d＝ ＝＝， ∴当cos θ＝－时，dmax＝ ＝. 名师点题 本题考查两点间距离最值的求解问题，解题关键是能够将两点间距离表示为关于cos θ的二次函数的形式，利用二次函数的最值求得结果． 对 点 训 练 1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，CD＝2，BC＝·＝0，M，N分别是线段AB，AD上的点，且||＋||＝2，则·的最大值为________． 解析：设∠CBA＝θ， 则∠BCD＝π－θ， ＝＝， ∵CD∥AB，CD＝2，AB＝5， ∴＝， ∴＝， ∵⊥， ∴·＝·()＝0， 即13－×5×cos θ＋×5××cos θ－×25＝0， 得3cos θ＝3，即cos θ＝. 如图，过C作CE⊥AB，过D作DF⊥AB，则CE∥DF，CE＝DF， 则BE＝BC·cos θ＝1，CE＝BC·sin θ＝× ＝2， 则DF＝CE＝2， ∵CE∥DF，CE＝DF， ∴EF∥CD，EF＝CD＝2， ∴AF＝AB－BE－EF＝2， 则tan ∠DAF＝＝， ∴∠DAB＝∠DAF＝，∴AD＝＝4， 由||＋||＝2，得||＝2－||， ∴·＝||·||·cos ∠DAB＝(2－||)·||·＝||－||2， ∵||∈(0，2)，函数y＝－x2＋x开口向下，对称轴x＝1， ∴当||＝1时，(·)max＝1－×12＝. 2．在等差数列{an}中，a1＋a7＝12，当取得最小值时，a2 020＝________． 6 解析：设等差数列{an}的公差为d.由等差中项的性质，得＝2a4＝12，解得a4＝6. 所以＝(6－d)2＋62＋(6＋d)2＝2d2＋108，当d＝0时取得最小值108，此时a2 020＝a4＝6. 应用 2　转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． 例 2 关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0恒有解，求a的取值范围． 解析：方法一　设3x＝t，则t>0.原方程有解即方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正根，设为t1，t2， ∴，即∴ 解得a≤－8. 方法二　设f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4(t＞0)， ①当Δ＝0时，即(4＋a)2－16＝0，∴a＝0或a＝－8. a＝0时，f(t)＝(t＋2)2＝0，得t＝－2<0，不符合题意； a＝－8时，f(t)＝(t－2)2＝0，得t＝2>0，符合题意．∴a＝－8. ②Δ>0，即a<－8，或a>0时，∵f(0)＝4，故只需对称轴－>0，即a<－4，∴a<－8.综上可得，a≤－8. 名师点题 对于多元方程(含参数)通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图象和性质来解决． 对 点 训 练 1.方程m＋＝x有解，则m的最大值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 答案：A 解析：由原式得m＝x－，设＝t(t≥0)， 则m＝1－t2－t＝， ∴m＝在[0，＋∞)上是减函数． ∴t＝0时，m的最大值为1. 2．对