3.6.3 第3讲　导数的简单应用课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

第3讲　导数的简单应用 考点一　导数的几何意义——明切点，建方程 1．导数公式 (1)(sin x)′＝________； (2)(cos x)′＝________； (3)(ax)′＝________(a>0，且a≠1)； (4)(logax)′＝________(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为_________________． cos x －sin x ax ln a y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0) 例 1 (1)[2022·四川泸州二模]已知曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋b，则a的值是(　　) A． B．－2 C．－ D．2 答案：D 解析：曲线y＝f(x)＝，求导得到f′(x)＝ ， 曲线在点(π，－)处的切线的斜率为f′(π)＝＝⇒a＝2 故选D. (2)[2022·新高考Ⅱ卷]曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为 _______，________． 解析：当x>0时，y＝ln x，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)，则此时切线方程为y－ln x1＝(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝(x－x2).若该切线经过原点，则ln (－x2)－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. y＝ y＝－ 归纳总结 求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程： 设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程． 对点训练 1.[2022·山西临汾一模]已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为(　　) A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0 C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0 答案：B 解析：因为f(x)＝2e2ln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x， 所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e， 所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.故选B. 2．[2022·湖南永州二模]若函数y＝ax2与y＝ln x存在两条公切线，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设切线与曲线y＝ln x相切于点(t，ln t)，对函数y＝ln x求导得y′＝， 所以，曲线y＝ln x在点(t，ln t)处的切线方程为y－ln t＝(x－t)，即y＝x＋ln t－1， 联立可得ax2－x＋1－ln t＝0， 由题意可得a≠0且Δ＝－4a(1－ln t)＝0，可得＝t2－t2ln t， 令g(t)＝t2－t2ln t，其中t>0，则g′(t)＝2t－(2t ln t＋t)＝t(1－2ln t)． 当0<t<时，g′(t)>0，此时函数g(t)单调递增， 当t>时，g′(t)<0，此时函数g(t)单调递减，所以，g(t)max＝g()＝. 且当0<t<e时，g(t)>0，当t>e时，g(t)<0，如图所示： 由题意可知，直线y＝与曲线y＝g(t)有两个交点，则0<<，解得a>.故选D. 考点二　利用导数研究函数的单调性——单调性的“克星”(导数) 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的__________条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的__________条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，不具有单调性． 充分不必要 必要不充分 例 2 (1)若函数f(x)＝x3＋x2＋2x－m ln x在(0，3]上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，24)　　　B．(－∞，24] C．(24，＋∞) D．[2