1.3 引领三　素材创新　弘扬文化课件-2023届高三数学（文）二轮专题复习

引领三　素材创新　弘扬文化 例 1 [2022·全国甲卷] 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：连接OC，则根据垂径定理知O，C，D三点共线．因为OA＝2，∠AOB＝60°，所以AB＝2，OC＝×2＝，则CD＝2－，所以的弧长的近似值s＝AB＋＝2＋＝.故选B. 名师点题 本题以沈括研究的圆弧长计算方法“会圆术”为背景，让学生直观感受我国古代科学家探究问题和解决问题的过程，引发学生的学习兴趣． 对点训练 1.[2022·安徽省江南十校高三一模]《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长l是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意可知：＝，tan ＝＝，所以tan ∠AOB＝＝＝.故选A. 例 2 [2022·河南省名校联盟1月联考]我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上文字写成公式，即S＝.(其中S为面积，a，b，c为△ABC三个内角A，B，C所对的边)．若b cos C＋c cos B＝4，c＝2，且a＝c(cos B＋cos C)，则利用“三斜求积”公式可得△ABC的面积S＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 答案：B 解析：因为b cosC＋c cos B＝4，由余弦定理可得b＋c＝4， 所以a＝4，又因为a＝c(cos B＋cos C)，由正弦定理可得sin A＝sin C(cos B＋ cos C)，即sin (B＋C)＝sin C cos B＋sin C cos C， 所以sin B cos C＝sin C cos C，因为a>c，所以A>C，所以C<， 所以sin B＝sin C，所以b＝c＝4， 代入S＝ ＝ ＝2.故选B. 对点训练 2. [2022·湖北省圆创联考高三2月第二次联合测评]用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球(如图1)放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图2)，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆＝1(y≥0)绕y轴旋转一周后得一半橄榄状的几何体(如图3)，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于(　　) A．15π　　B．30π C．45π　　D．60π 答案：B 解析：构造一个底面半径为3，高为5的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为h(0≤h≤5)时，小圆锥的底面半径为r，则＝， ∴r＝h，故截面面积为9π－， 把y＝h代入椭圆＝1可得x＝±， ∴橄榄球形几何体的截面面积为πx2＝9π－， 由祖暅原理可得半个橄榄球形几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝9π×5－×9π×5＝30π.故选B. 例3 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，则乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2 米时，乌龟爬行的总距离为(　　) A．米 B．米 C．米 D．米 答案：B 解析：通解　设乌龟每次爬行的距离构成数列{an}，则数列{an}为等比数列， 设其公比为q，则a1＝100，q＝，an＝a1qn－1. 令10－2＝100×，解得n＝5， 所以S5＝＝＝， 即乌龟爬行的总距离为米．故选B. 优