考点04 解三角形小题11种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学期中期末复习备考讲义（人教A版2019必修第二册）

考点04 解三角形小题11种常见考法归类 1. 正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则 正弦定理 余弦定理 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式 ＝＝. a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝a2＋c2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC. 常见 变形 (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝. a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA. cosA＝， cosB＝， cosC＝. 2. 三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径). (4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长. 3. 解三角形中的常用术语 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①). (2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②). (3)方向角：相对于某一正方向的水平角. 北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). 北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. 南偏西等其他方向角类似. (4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角). 坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ). 坡度又称为坡比. 4. 常用定理 (1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有＝－等式子. (2)射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA. (3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 即若AD为∠A的角平分线，则有比例关系：＝. 5. 重要关系 (1)等价关系：A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB. 　 (2)三角函数关系：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC. sin＝cos；cos＝sin. 6. 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系. 由正弦定理求角，注意利用条件判断角的范围，即确定是一解还是两解. 7. 边、角混合的条件，一般需要先利用正弦定理将其转化为边(或角)的条件. 8. 注意等式两边的公因式一般不要随意约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状. 9. 三角形面积计算问题要选用恰当公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化. 面积最值问题，常化为边的关系用基本不等式，或化为角的关系用三角函数性质求解. 考点一 利用正弦定理解三角形 （一）已知两角及一边解三角形 （二）已知两边及一边的对角解三角形 （三）判断三角形解的个数 考点二 正弦定理的应用 考点三 利用余弦定理解三角形 （一）已知两边及其夹角 （二）已知两边及一边的对角 （三）已知三边 考点四 余弦定理的应用 考点五 判断三角形形状 考点六 正余弦定理的综合应用 考点七 与角度、边长有关的最值问题 考点八 三角形面积计算及应用 （一）求三角形的面积 （二）已知三角形面积求边、角的方法 （三）三角形面积的最值问题 考点九 三角形的周长计算及应用 考点十 正、余弦定理解决几何问题 考点十一 利用正、余弦定理解决实际问题 考点一 利用正弦定理解三角形 （一）已知两角及一边解三角形 1．（2023秋·陕西西安·高三西安市铁一中学校考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）在锐角中，内角A､B､C所对的边分别是，若，，，则____ 3．（2023秋·湖南邵阳·高二湖南省邵东市第一中学校考期末）在中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边的长，已知，，，则边AB的长是______． （二）已知两边及一边的对角解三角形 4．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若，则（    ） A． B．或 C． D．或 5．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则