2023年中考数学复习讲义：专题十九 借助函数关系解决图形问题

专题十九　利用函数关系解决图形问题 一、 借助函数关系解决面积问题 1. (2022陕西黑白卷)问题提出 (1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC，S△ABC＝36，点P为AB上的动点，求CP的最小值； 问题解决 (2)如图②，以AB为直径的半圆O是一片草地，某园艺规划师计划在上找一点C，与点A，B围成一个三角形区域，在△ABC中种植花卉，其中AC＝40米，BC＝30米．按照设计要求，在AB上取一点P，AC，BC上分别取点E，F，且点E，F到AB的距离相等，为提高人们的观赏性，在点P，E，F围成的三角形区域内种植甲花卉，其他区域内种植乙花卉，已知甲花卉的价格为40元/平方米，乙花卉的价格为80元/平方米，请问是否存在符合设计要求且使得总费用最少的△EPF？若存在，请求出最少费用及此时EF的长；若不存在，请说明理由． 2.一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上. （1）求证：ΔAEF～ΔABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 3.如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，矩形DEFG的边EF在BC边上，顶点D，G分别在AB，AC边上．设EF＝x，矩形DEFG的面积为y. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求矩形DEFG面积的最大值． 4.如图，四边形ABCD为某老式住宅的地基平面示意图，其中∠A＝∠B＝90°，AD＝9 m，AB＝14 m，BC＝23 m．某设计师受业主委托将该住宅翻新改造，为了固定房屋主体结构，设计师打算在AB，CD边上分别选取两点E，F，使得EF∥BC，再在BC上选取点G，H，连接EG，FH交于点O(点O在四边形ABCD内部)，且满足EG⊥FH，EG∥CD，设AE＝x(m)，房屋主体结构所在四边形EFGH的面积为S(m2). (1)请求出S与x的函数关系式； (2)求S的最大值及此时AE的长． 6.如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D为BC上一点，分别过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，以ED，DF为邻边在△ABC内作四边形DEGF，设BD＝x，四边形DEGF的面积为y. (1) 求y与x之间的函数关系式； (2)求四边形DEGF面积的最大值． 二、　借助函数关系解决线段问题 1. 问题提出 (1)如图①，在等边△ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且∠ADE＝60°，若AB＝3，BD＝1，则CE的长为________； 问题解决 (2)某开发商准备依托AB，BC两条街道建立一个四边形游乐场ABCD，规划游乐场的平面示意图如图②，已知AB＝500 m，BC＝300 m，根据规划要求，将点C处修建为停车场(大小忽略不计)，在空地上的点D处建立标志性建筑摩天轮，在AB，BC上的点E，F处建立游乐场入口，为了整体布局与美观，要使得DE∥BC，DC∥AB，∠DEF＝∠A，在满足规划要求时，停车场与入口F是否存在最短距离(即CF最短)？若存在，请求出CF的最小值以及此时摩天轮到停车场的距离；若不存在，请说明理由． 　第1题图 2.如图，ΔABC是一块锐角三角形材料，边BC=6c＝6cm，高AD=4cm＝4cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGFH的面积最大，EG的长应是多少? 3.李大爷计划用18米长的绳子围成如图所示的矩形围栏，其中AD为墙(AD足够长).若AB＝x，矩形ABCD的面积为y. (1)求y与x之间的关系式； (2)当矩形ABCD的面积最大时，求AB的长． 4.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，连接AC，∠ABC＝120°，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD上的点，且四边形EFGH为矩形，设BE＝x，矩形EFGH的面积为y. （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当S矩形EFGH＝S菱形ABCD时，求AE的长． 5.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，∠B