第八章 8.6　第5课时　平面与平面垂直的性质-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第八章 立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 第5课时　平面与平面垂直的性质 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 学习目标 掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题. 5A新学案 数学·必修第二册 学 习 目 标 2 素养养成·学透教材 类型1　证明直线和平面垂直 　　　(课本P160例10补充)如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°且边长为a，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点． 1 素养养成·学透教材 (1) 求证：BG⊥平面PAD； 【解答】 因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G为AD边的中点，所以BG⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD. (2) 求证：AD⊥PB. 【解答】 因为△PAD是正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)可知BG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG.因为PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB. 素养养成·学透教材 规律总结：在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直． 素养养成·学透教材 类型2　与面面垂直有关的计算 2 (例2(1)) 素养养成·学透教材 (1) 求证：侧面PAB⊥侧面PBC； 【解答】 在矩形ABCD中，BC⊥AB.因为侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD＝AB，所以BC⊥侧面PAB.又因为BC⊂侧面PBC，所以侧面PAB⊥侧面PBC. 素养养成·学透教材 (2) 求侧棱PC与底面ABCD所成的角； (例2(2)) 素养养成·学透教材 (3) 求直线AB与平面PCD的距离． 素养养成·学透教材 　　　　如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长． 素养养成·学透教材 规律总结：与面面垂直有关的计算问题的解决方法：(1) 计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2) 求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法． 素养养成·学透教材 类型3　折叠问题 　　　如图(1)，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图(2)，点E是线段AM的中点． 图(1) 　　　　　 　　图(2) 3 素养养成·学透教材 (1) 求四棱锥D －ABCM的体积； 素养养成·学透教材 (2) 求证：平面BDE⊥平面ABCM； 【解答】 由(1)可得，DE⊥平面ABCM，因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面ABCM. (3) 过点B是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD？请说明理由． 【解答】 过点B存在一条直线l，满足题意．理由如下：在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，因为平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，所以l⊥平面ADM，所以l⊥AD. 素养养成·学透教材 规律总结：解决折叠问题需要把握的两个关键点：(1) 搞清折叠前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”：①与折线垂直的线段，折叠前后垂直关系不改变；②与折线平行的线段，折叠前后平行关系不改变．(2) 解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形． 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 17 1. 已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是(　　) A. 若m⊂α，则m⊥β B. 若m⊂α，n⊂β，则m⊥n C. 若m⊄α，m⊥β，则m∥α D. 若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解析】 对于A，若m⊂α，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B，若m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C，若m⊄α，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D，若α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误． C 课堂评价·