第八章 8.6　第2课时　直线与平面垂直的判定定理-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第八章 立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 第2课时　直线与平面垂直的判定定理 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 学习目标 1. 借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明． 2. 会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直. 5A新学案 数学·必修第二册 学 习 目 标 2 素养养成·学透教材 类型1　线面垂直概念的理解 　　　(多选)下列命题中正确的是(　　　) A. 若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B. 若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C. 若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D. 过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 1 【解析】 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确． CD 素养养成·学透教材 　　　　设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是 (　　) A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α C. 若l∥α，m⊂α，则l∥m D. 若l∥α，m∥α，则l∥m 【解析】 对于A，直线l⊥m，m并不能代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面． B 素养养成·学透教材 规律总结：(1) 直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直． (2) 由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 素养养成·学透教材 类型2　直线与平面垂直的判定定理的应用 　　　(课本P151例3补充)如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点． 2 素养养成·学透教材 (1) 求证：SD⊥平面ABC； 【解答】 因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC. (2) 若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【解答】 因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC. 素养养成·学透教材 规律总结：利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： (1) 在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直． (2) 确定这个平面内的两条直线是相交的直线． (3) 根据判定定理得出结论． 素养养成·学透教材 类型3　直线与平面所成的角 　　　(课本P152例4补充)如图(1)，在正方体ABCD －A1B1C1D1中． (例3(1)) 3 素养养成·学透教材 (1) 求A1B与平面AA1D1D所成的角； 【解答】 因为AB⊥平面AA1D1D，所以∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角．在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，所以∠AA1B＝45°，所以A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 素养养成·学透教材 (2) 求A1B与平面BB1D1D所成的角． (例3(2)) 素养养成·学透教材 　　　　在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点． (1) 求D1B与平面ABCD所成角的余弦值； 素养养成·学透教材 (2) 求EF与平面A1B1C1D1所成的角． 【解答】 因为E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，所以∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△EA1F中，F是A1D1的中点，所以∠EFA1＝45°.即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°. 规律总结：(1) 求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2) 求线面角的技巧：在上述步骤中，确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 素