第八章 8.6　第1课时　直线与直线垂直-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第八章 立体几何初步 8.6　空间直线、平面的垂直 第1课时　直线与直线垂直 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 学习目标 1. 借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线垂直的关系． 2. 掌握两异面直线所成角的求法. 5A新学案 数学·必修第二册 学 习 目 标 2 素养养成·学透教材 类型1　求异面直线所成的角 　　　(课本P147例1补充)如图(1)，在正方体ABCD －EFGH中，O为侧面ADHE的中心． (例1(1)) 1 素养养成·学透教材 (1) 求BE与CG所成的角； 【解答】 因为CG∥FB，所以∠EBF是异面直线BE与CG所成的角．在Rt△EFB中，EF＝FB，所以∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°. 素养养成·学透教材 (2) 求FO与BD所成的角． 【解答】 如图(2)，连接AH，AF，FH.因为FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，所以FB＝HD，FB∥HD，所以四边形FBDH是平行四边形，所以BD∥FH，所以∠HFO或其补角是FO与BD所成的角．易得△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，所以∠HFO＝30°，所以FO与BD所成的角为30°. (例1(2)) 素养养成·学透教材 　　　　如图(1)，在正方体ABCD －A1B1C1D1中． (变式(1)) 素养养成·学透教材 (1) 求A1C1与B1C所成角的大小； 【解答】 如图(2)，连接AC，AB1.在正方体ABCD －A1B1C1D1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. (变式(2)) 素养养成·学透教材 (2) 若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小． 【解答】 如图(2)，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，所以AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.又因为AC⊥BD，所以AC⊥EF，所以EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 素养养成·学透教材 规律总结：求两异面直线所成角的三个步骤： (1) 作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角． (2) 证：证明作出的角就是要求的角． (3) 计算：求角的值，常利用解三角形得出． 可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 素养养成·学透教材 类型2　直线与直线垂直的证明 　　　(课本P147例2补充)如图(1)，在正三棱柱ABC －A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. (例2(1)) 2 素养养成·学透教材 素养养成·学透教材 　　　　如图(1)，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. (变式(1)) 素养养成·学透教材 【解答】 因为ABCD －A1B1C1D1是正方体，所以A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，所以A1B∥D1C，所以直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角．如图(2)，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，又O为CD1的中点，所以AO⊥D1C，所以AO⊥A1B. (变式(2)) 素养养成·学透教材 规律总结：要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角．若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直． 素养养成·学透教材 类型3　异面直线所成角的应用 　　　如图(1)，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD与AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度． (例3(1)) 3 素养养成·学透教材 (例3(2)) 素养养成·学透教材 规律总结：利用异面直线所成角求线段长度，可先通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角，然后再解三角形即可． 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 19 1. 已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则(　　) A. m与n异面 B. m与n相交 C. m与n平行 D. m与n平行、相交、异面均有可能 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 【解析】 因为m⊥l，n⊥l，所以m与n既可以相交，也可以异面，还可以平行，如图． D 课堂评价·及时反馈 2. (多选)如图(1)，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是(　　　　) 　 　　　　　　　　　　　　　　　(第2题(1)) A. EF与BB1垂直 B. EF与BD垂直 C