11.2 反比例函数的图像与性质-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第11章 反比例函数 11.2 反比例函数的图像与性质 课程标准 课标解读 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解x>0和x<0时图象的变化情况。 1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质。 2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质。 3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题。 知识点01 反比例函数的图象和性质 1. 反比例函数的图象特征 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 【微点拨】 （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴。 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3.反比例函数的性质 （1）当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 【微点拨】 反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号。 【即学即练1】反比例函数的图像大致是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于反比例函数，比例系数， ∴函数图像是位于二四象限的双曲线． 故选：D． 【即学即练2】已知反比例函数，则下列描述不正确的是（） A．图象位于第一，第三象限 B．图像必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小 【答案】D 【详解】解∶， 图像位于第一，第三象限，故A正确，不符合题意； B．， 图像必经过点， 故B正确，不符合题意； C．， ， 图像不可能与坐标轴相交， 故C正确，不符合题意； D．， 在每一个象限内，随的增大而减小，故D错误，符合题意． 故选∶D． 知识点02 反比例函数(k≠0)中的比例系数k的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 【微点拨】 只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的。 【即学即练3】如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，，则的值为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】解：设点的坐标为， ∵的面积是， ∴， 解得，， 故选：C． 【即学即练4】如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC的面积为6，边OB在x轴上，顶点A、C分别在反比例函数和的图象上，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】A 【详解】解：连接OA，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AC垂直y轴， 点A、C分别在反比例函数和的图象上， ∴=×|k|=-k，=×2=1， ∴=-k+1， ∵▱ABOC的面积=2=6． ∴-k+2=6， ∵k-2=-6， 故选：A． 考法一 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例1】在平面直角坐标系中，反比例函数和一次函数的图象都经过点． (1)若，求的值． (2)若点也在反比例函数的图象上． ①求，的函数表达式． ②若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)①，的函数表达式分别为，；②x的取值范围是或． 【详解】（1）解：若，则， ∵反比例函数的图象都经过点． ∴； （2）解：①∵反比例函数的图象经过点．点也在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴，， 解得，， ∴，的函数表达式分别为，； ②在中，令，则； ∵，， ∴若，则x的取值范围是或． 考法二 反比例函数与几何图形的综合 【典例2】如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图像经过点C，交于点D．已知，． (1)若，求k的值； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)12；