7.4.1 二项分布课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 1．理解 n 重伯努利试验的模型及意义． 2．理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题． 3．掌握二项分布的期望与方差的求法． 在实际问题中，有许多随机试验与抛掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 我们将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验. 显然，n 重伯努利试验具有如下共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做 n 次； (2)各次试验的结果相互独立. 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 3 思考：下面3个随机试验是否为 n 重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为 A，那么 A 的概率是多大？重复试验的次数是多少？ (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2)某运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. (3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 在伯努利试验中，我们关注某个事件 A 是否发生，而 n 重伯努利试验中，我们关注事件 A 发生的次数 X. 进一步地，因为 X 是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列. 例如，对产品抽样检查，随机抽取 n 件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列. 探究：某运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数 X 的概率分布列是怎样的？ 分析：用 表示事件“第i 次射击中靶”，由分布乘法计数原理，3次独立重复试验共有 种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积. 由概率的加法公式和乘法公式得 二项分布 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 6 为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为 ，并且与哪两次中靶无关. 因此，3次射击恰好2次中靶的概率为 . 同理可求中靶0次、1次、3次的概率. 于是，中靶次数 X 的分布列为 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p， ，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 . 注：由二项式定理，容易得到 二项分布与两点分布有什么关系？ (1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件 A 发生(X＝1)或不发生( X＝0)；二项分布是指在 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数 X 的分布列，试验次数为 n 次(每次试验的结果也只有两种：事件 A 发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件 A 恰好发生0次，1次，2次，…，n 次； (2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布． 例1 判断下列试验是不是 n 重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． n 重伯努利试验的判断依据 (1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行； (2)每次试验相互独立，互不影响； (3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生．　 1.下列事件是 n 重伯努利试验的是(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标” D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 D 二项分布的应用 例2 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 4次，X 表示“正面朝上”出现的次数. (1)求 X 的分布列； (2)求 X 的期望，方差. 解：(1)由题可知 X 服从二项分布，正面朝上的概率为 ，反面朝上的概率为 ，且 X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. ，