7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义． 2．能计算简单的离散型随机变量的方差和标准差，并能解决实际问题． 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 思考：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X，Y 分布列如下： 如何评价这两名同学的射击水平？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 离散型随机变量的方差 通过计算可得， ， . 因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.下图分别是 X 和 Y 的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. X3 (X) - 我们这里可以看出乙的成绩更好，但是这只是定性的分析，那该如何用数据定量的说明呢？ 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 设离散型随机变量 X 的概率分布为： X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn 我们称 为随机变量 X 的方差，有时也记为 ，并称 为随机变量 X 的标准差，记为 . 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量的离散程度. 它们的值越小，则随机变量的取值越集中；它们的值越大，随机变量的取值越分散. 现在，我们可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性. ， ， 因为 ，所以随机变 Y 的取值更集中，即乙同学成绩相对稳定. 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 孔隆教育 http://mykonglong.taobao.com 7 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化. 例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数 X 的方差. 解：随机变量 X 的分布列为 因为 ， 所以 求离散型随机变量方差的步骤 (1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值； (2)求出 X 取每个值的概率； (3)写出 X 的分布列； (4)计算E( X )； (5)计算D( X )． 1.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上 n 号的有 n 个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．X 表示所取球的标号．求 X 的分布列、均值和方差. 解：由题意知 X 的的所有可能取值为 0，1，2，3，4. 且 ， ， ， ， 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 则 离散型随机变量方差的性质 离散型随机变量 X 加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量 X 乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量 X 加上一个常数 b，其均值也相应加上常数 b，故不改变 X 与其均值的离散程度，方差保持不变，即 . 而离散型随机变量 X 乘以一个常数 a，其方差变为原来的 倍，即 . 注：对公式D(aX＋b)＝a2D(X)的理解： (1)当a＝0时，D(b)＝0； (2)当a＝1时，D(X＋b)＝D(X)； (3)当b＝0时，D(aX)＝a2D(X)． 一般地，可以证明下面的结论成立： (1)求 ， ； (2)设 ，求 ， . X -1 0 1 P 例2 已知随机变量 X 的分布列如下表： 解：(1) ， . (2) ， . 2.已知 X 的分布列如表所示，若 ，且 ， ，求 a， b. X 1 2 3 P m 解：由 X 的分