第六章 6.3　第3课时　平面向量数量积的坐标运算-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第六章 平面向量及其应用 6.3　平面向量基本定理及坐标表示 第3课时　平面向量数量积的坐标运算 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 学习 目标 1. 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 2. 会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题. 5A新学案 数学·必修第二册 学 习 目 标 2 素养养成·学透教材 类型1　平面向量数量积的坐标运算 　 (课本P34例11补充)(1) 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求向量a的坐标； 1 【解答】 设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，所以λ＝2，所以a＝(2,4)． ②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c. 【解答】 因为b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， 所以a·(b·c)＝a·0＝0， (a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 素养养成·学透教材 (例1(2)) 素养养成·学透教材 规律总结：进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： (1) |a|2＝a·a. (2) (a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. (3) (a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. 素养养成·学透教材 类型2　向量的模的问题 　 设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|＝__________. 2 规律总结：求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法： (1) 求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． 素养养成·学透教材 类型3　向量的夹角与垂直问题 　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1) 求a与b的夹角的余弦值； 3 【解答】 设向量a，b的夹角为θ， 因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， 素养养成·学透教材 (2) 若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 素养养成·学透教材 设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值． 素养养成·学透教材 规律总结：解决向量夹角问题的方法及注意事项： 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 12 1. 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于( ) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 B 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 A 课堂评价·及时反馈 3. 已知向量a＝(5，－2)，b＝(3,4)，则向量a在b上的投影向量为________. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 (－3,6) 课堂评价·及时反馈 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 (2) 如图(1)，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是_____________. 【解析】 由a∥b得y＋4＝0，所以y＝－4，b＝(－2，－4)，所以2a－b＝(4,8)，所以|2a－b|＝4. (2) a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 4 |a|＝＝5，|b|＝＝， 所以cos θ＝＝＝. 【解答】 因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，所以(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 变式 【解答】 因为a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，所以c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，所以c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.又因为|c|＝1，|d|＝，所以cos 45°＝＝＝，化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝.当m＝1时，c与d的夹角为135°，舍去．故m＝. (1) 求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2) 注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是 [0°，180°]．利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也