第六章 6.2　第4课时　向量的数量积-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第六章 平面向量及其应用 6.2　平面向量的运算 第4课时　向量的数量积 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 学习 目标 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义． 2. 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律． 3. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件. 5A新学案 数学·必修第二册 学 习 目 标 2 素养养成·学透教材 类型1　投影向量 1 A 素养养成·学透教材 已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量． 规律总结：投影向量的求法： (1) 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． 素养养成·学透教材 类型2　向量数量积的运算 (课本P17例9补充)已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°. (1) 求a·b； (2) 求a2－b2； 【解答】 a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7. (3) 求(2a－b)·(a＋3b)． 2 素养养成·学透教材 规律总结：求向量数量积的方法：若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|·cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． 素养养成·学透教材 类型3　向量的模和向量的夹角 3 (1) 求|b|； 素养养成·学透教材 素养养成·学透教材 素养养成·学透教材 类型4　与向量垂直的有关问题 4 B 素养养成·学透教材 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( ) 规律总结：解决有关垂直问题时，利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)． A 素养养成·学透教材 课堂评价·及时反馈 13 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 C 课堂评价·及时反馈 2. 已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( ) 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 C 课堂评价·及时反馈 3. 已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为___________. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 课堂评价·及时反馈 4. 已知a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______________，|3a－4b|＝____________. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 课堂评价·及时反馈 5. 已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ. 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 【解答】 因为a＋3b与7a－5b垂直，所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0.① 因为a－4b与7a－2b垂直，所以(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0.② ①－②，整理得2a·b＝b2.③ 课堂评价·及时反馈 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 已知等边三角形ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为( ) A. － B. C. 2 D. 2 【解析】 在等边三角形ABC中，因为∠A＝60°，所以向量在向量方向上的投影向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为－. 变式 【解答】 因为|b|＝1，所以b为单位向量，所以a在b上的投影向量为|a|cos 120°·b＝3×b＝－b. (2) 向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ·. 【解答】 a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×＝－6. 【解答】 (2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×－3×42＝－60. 已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝. 【解答】 因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝. (2) 当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值． 【解答】 因为|a＋2b|2＝|a|2＋