第六章 微专题2　解三角形中的最值与范围问题-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第六章 平面向量及其应用 微专题2　解三角形中的最值与范围问题 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 典例剖析·素养提升 探究1　利用三角函数有界性求解 (1) 求角C的大小； 1 典例剖析·素养提升 (2) 求sin Asin B的最大值． 典例剖析·素养提升 在△ABC中，已知sin2A－sin2B－sin2C＝sin BsinC. (1) 求角A的大小； (2) 若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 典例剖析·素养提升 探究2　利用基本不等式 2 典例剖析·素养提升 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3acos C＋b＝0，求tan B的最大值． 典例剖析·素养提升 探究3　利用二次函数求解 　 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角． 3 典例剖析·素养提升 (2) 求sin A＋sin C的取值范围． 典例剖析·素养提升 (1) 求cos B的值； 典例剖析·素养提升 (2) 若a＋c＝2，求b的取值范围． 典例剖析·素养提升 (1) 三角形的面积(周长)的取值范围或最值的解法： ①三角函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解． ②基本不等式法：利用正、余弦定理、面积(周长)公式建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系，然后利用基本不等式求解． 典例剖析·素养提升 (3) 求解三角形中最值范围问题时要关注三角形中的不等关系 ①任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可．由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少． ②在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：a>b⇔A>B⇔sin A> sin B⇔cos A<cosB. 典例剖析·素养提升 课堂评价·及时反馈 14 1. 已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为( ) A. 7　　 B. 8　　 C. 9　　 D. 10 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 A 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 12 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当______________时，求 sin Asin B的最大值． 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 课堂评价·及时反馈 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝(a2＋b2－c2)．　 【解答】 由题意可知S＝absin C＝×2abcos C，所以tan C＝，因为0<C<π，所以C＝. 【解答】 sin Asin B＝sin Asin(π－C－A)＝sin Asin＝sin A＝sin 2A－cos 2A＋＝sin＋.因为0<A<，所以－<2A－<，所以当2A－＝，即A＝时，sin Asin B取得最大值.故sin Asin B的最大值是. 变式 【解答】 由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB ①.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A ②.由①②得cos A＝－.因为0<A<π，所以A＝. 【解答】 由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sinB.故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin.又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋b2＝c2＋ab，若△ABC的外接圆半径为，求△ABC面积的最大值． 【解答】 已知a2＋b2＝c2＋ab，由余弦定理得cos C＝＝，从而sin C＝，故S△ABC＝absin C＝ab.由外接圆半径R＝及sin C＝可得c＝ 2Rsin C＝4，所以a2＋b2＝16＋ab，而a2＋b2≥2ab，所以有16＋ab≥2ab⇒ab≤12，所以S△ABC≤×12＝4，故△ABC面积的最大值为4. 变式 【解答】 在△ABC中，因为3a