第六章 微专题1　平面向量与三角形的“四心”-2022-2023学年新教材高中数学必修二【南方凤凰台·5A新学案】人教A版（课件）

第六章 平面向量及其应用 微专题1　平面向量与三角形的“四心” 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 1 典例剖析·素养提升 探究1　平面向量与三角形的“重心”问题 1 典例剖析·素养提升 A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 C 典例剖析·素养提升 探究2　平面向量与三角形的“外心”问题 2 典例剖析·素养提升 A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 B 典例剖析·素养提升 探究3　平面向量与三角形的“垂心”问题 3 典例剖析·素养提升 A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 C 典例剖析·素养提升 探究4　平面向量与三角形的“内心”问题 4 典例剖析·素养提升 A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心 C 典例剖析·素养提升 设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则有： 典例剖析·素养提升 课堂评价·及时反馈 12 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 B 课堂评价·及时反馈 A. 4 B. 1 C. －2 D. 2 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 D 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 课堂评价·及时反馈 点击对应数字即可跳转到对应题目 4 1 2 3 5 课堂评价·及时反馈 谢谢观赏 高考总复习 一轮复习导学案 · 数学（提高版） 5A新学案 数学·必修第二册 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，求证：点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 【解答】 取AB的中点D，则2＝＋，因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，因为＋＝1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心． 变式 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定经过△ABC的( ) 【解析】 由已知得＝λ(＋)，取BC边的中点D，则＋＝2，所以＝2λ，所以A，P，D三点共线，所以点P的轨迹必过△ABC的重心． 设P是△ABC所在平面内一点，若·(＋)＝2·，且2＝2－2·，求证：点P是△ABC的外心． 【解答】 由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.由2＝2－2·，得(＋)·(－)＝－2·，即(＋－2)·＝0.设E为BC的中点，则(2－2)·＝0，则2·＝0，故·＝0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心． 变式 设O是△ABC所在平面内一定点，P是平面内一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则点O是△ABC的( ) 【解析】 设BC，AC的中点分别为D，E，＋＝2，＋＝2，(－)·(＋)＝·2＝0，所以⊥，所以OD⊥BC，点O在线段BC的垂直平分线上，同理点O在线段AC的垂直平分线上，所以O为△ABC的外心． 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，求证：动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心． 【解答】 因为＝＋λ，所以＝－＝λ，所以·＝λ＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心． 变式 已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则O一定为△ABC的( ) 【解析】 设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a，由2＋2＝2＋2，即|a|2＋|c－b|2＝|b|2＋|a－c|2，化简可得c·b＝a·c⇒(b－a)·c＝0，所以·＝0，所以AB⊥OC.同理由2＋2＝2＋2可得OA⊥BC，故点O是△ABC 的垂心． 在△ABC中，||＝3，||＝2，＝＋，求证：直线AD经过△ABC的内心． 【解答】 因为||＝3，||＝2，所以||＝||＝.设＝，＝，则||＝||.因为＝＋＝＋，所以AD平分∠EAF，所以AD平分 ∠BAC，所以直线AD经过△ABC的内心． 变式 已知△ABC所在的平面上的动点M满足＝||＋||，则直线AP一定经过△ABC的( ) 【解析】 因为＝||＋||，所以＝||||，根据平行四边形法则知＋表示的向量在三角形角A的平分线上，而向量与＋共线，所以点P的轨迹经过△A