10.5 分式方程-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品讲义（苏科版）

第10章 分式 10.5 分式方程 课程标准 课标解读 1.能解可化为一元一次方程的分式方程。 2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题。 知识点01 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程。 【微点拨】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数。 （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）。分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程。 （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程。 【即学即练1】方程 、 、、中分式方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：中的分母中不含表示未知数的字母；故不是分式方程； 、 、的方程分母中含未知数x，所以是分式方程． 故选：C． 【即学即练2】下列说法正确的是(    ) A．是二项方程 B．是二元二次方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【答案】B 【详解】解：A、没有常数项，不符合题意；B、符合二元二次方程的定义，符合题意；C、分母中无未知量，不符合分式方程的定义，不符合题意；D、根号下无未知量，不符合无理方程的定义，不符合题意； 故选：B． 知识点02 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2.解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 3.解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【微点拨】 （1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根。 （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的。 【即学即练3】分式方程经过“去分母”和“去括号”步骤后得到的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分式方程变形得：， 去括号得：， 故选：D． 【即学即练4】分式方程的解为（    ） A． B． C． D．方程无解 【答案】D 【详解】解： 移项，变形， 分式加减，，且， ∴， ∴原分式方程无解， 故选：． 知识点03 分式方程的应用 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案。 【即学即练5】甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（　　   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设原来的平均速度为千米/时， 由题意得，， 故选：B． 【即学即练6】2022年卡塔尔世界杯场馆建设：“中国造”闪耀世界杯．世界最大的饮用水池卡塔尔饮用水蓄水池，由中国能建、葛洲坝集团参与建造．王师傅检修一条长米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？设王师傅原计划每小时检修管道米，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设王师傅原计划每小时检修管道米， ∵在实际检修过程中，每小时检修管道的长度是原计划的1.2倍， ∴在实际检修过程中，每小时检修管道的长度是， ∵结果提前小时完成任务， ∴