2023年中考数学复习之 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

2023年中考复习之 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 【典型例题】 类型一、一元二次方程根的判别式的应用 1．关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 举一反三： 【变式】1.不解方程，判别方程根的情况： 2.关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为最大负整数，求此时方程的根． 3.关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 2．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 【变式】1.m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 2.已知关于x的方程mx2+（m+1）x+1＝0（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有一个根是，求m的值． 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点诠释： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用 3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【变式】1.已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值． 2.已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+﹣2＝0． （1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣，求m的值． 5.已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m2+＝0有两个不相等的实