第八章 第6讲 双曲线-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习

第八章平面解析几何回 第6讲 双曲线 课标多求 1.了解双曲线的定义、儿何图形和标准方程。 2掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线） 3.了解双曲线的简单应用 对应答案P440 必备知识 夯实四基 知识梳理 常用结论 1.双曲线的定义 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 一般地，如果F,F是平面内的两个定点，a是 一个正常数，且2a<|F,F2|,则平面上满足① (②)若P是双曲线右支上一点，F,F2分别为双 =2a的动点P的轨迹称为双曲 曲线的左、右焦点，则PF|m=a十c,PF,| 线，其中，两个定点F,F,称为双曲线的回 =c-a. 一，两个焦点的距离F,F:|称为双曲线的图 (3)同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂 其数学表达式：集合M={P1IIPF,I一PF2II 直于实轴的孩)，其长为26 =2a},|F,F2=2c,其中ac为常数，且a>0,c >0. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意 (1)若a<c,则点P的轨迹为双曲线： 一点，F,F:分别为双曲线的左、右焦点，则 (2)若a=c,则点P的轨迹为两条④ (3)若a>c,则点P的轨迹不存在. Sam.r.= 6 其中0为∠E,PF 2.双曲线的标准方程和简单几何性质 tan 2 标准方程 -1(a>0,>0) =1(a>0.b>0) (5)与双曲线 y =1(a>0,b>0)有共同渐近 线的方程可袁示为二 =1(1≠0). 图形 BB, A· 诊断自测 焦点 思考辨析 焦距 四 1.判断（在括号内打“√”或“×”） (1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的 范围 或回 ,y∈R y≤一a或y≥a∈R 轨迹是双曲线. () 对称性 对称轴：回 对称中心：国 顶点 (2)方程二-立-1(mm>0)表示焦点在工轴上 实轴：线段网 ,长：国 虚轴：线段 的双曲线。 () 轴 B,B,长：面 ,实半轴长：国 ,虚半轴长 y 3)双曲线 =1(m>0,n>0)的渐近线方 离心率 -e国 程是士义=0. ( m刀 渐近线 =士名 (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等 a.b.c 的关系 2-@ (c>a>0.c>b>0) 于2. ( 171图 国高考一轮总复习·数学·RJB 教材衍化 2.(教村改编题)已知双曲线的左，右焦点分别为 y F,(一3,0)，F,(3,0),P为双曲线上一点且 IPFI一PFI|=4,则双曲线的标准方程为 易错自纠 r 4,(急视双曲线的定义燕误)已知双尚线C:号一台 =1的左、右焦点分别是F,F,点P在双曲线C n号-到 上，且PF=7,则IPF|= () A.13 B.16 C.1或13D.3或16 3.(教村改编题)已知双曲线的中心在原点，焦点在 5.(急视悲点的位置致误)若双曲线的渐近线方程 x轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方 为y=士3x,它的焦距为2√10.则该双曲线的标 程为 ( 准方程为 提升能力 考点剖析⊙ 对应倍案P440] 考点小 双曲线的定义及应用（师生共研） [例1](1)与圆(x+2)2十y=2外切，且与圆x 令变式训练 十y一4x=0内切的圆的圆心在 ( 1.(2022·河南洛阳·三模)设F,(-2,0),F2(2 A.抛物线上 B.圆上 O),M(x,y)满足MF,I-|MF,|=2,且x2+y C.双曲线的一支上 D.椭圆上 =4,则△F,FM的面积为 () (2)已知F1,F,为双曲线C:x2-y=2的左，右 A.3 焦点，点P在C上，∠F,PF,=60°，则△F,PF R号 的面积为 C.9 n号 【发散探究】 在本例(2)中，若将“∠FPF=60”改为“PF 2.(多选)(2022·广东茂名·二模)已知O为坐标 .PF=0”,则△F,PF,的面积为 原点，RE分别为双曲线号一-普=1o>0,6> 感悟方法 0)的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结 双曲线定义的应用 论正确的有 ( ) (1)判定满足某条件的平面内动，点的轨迹是否 A.若PO川=|PF2|,则双曲线的离心率e≥2 为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程。 B.若△POF。是面积为√3的正三角形，则 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦 b=23 定理，经常结合|PF,一PF:||=2a,运用平 C.若A为双曲线的右顶点，PF,⊥x轴，则 方的方法，建立PF|与PF,的关系. FA=FPl 注意：在应用双曲线定义时，要注意定义中的条 D.若射线F,P与双曲线的一条渐近线交于点 件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一 Q,则|1QF1-|QF:11>2a 支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支· ⑧172 第八章平面解析几何回 考点2 双曲线的标准方程（师生共研） 例2