第八章 第5讲 椭 圆-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习

第八章平面解析几何回 第5讲椭圆 课标要求 1,理解椭圆的定义、几何图形，标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）， 3.掌握椭圆的简单应用. 必备知识 夯实四基 对应音案P437 知识梳理 续表 1.椭圆的定义 焦距 F,F,|=网 如果F,F:是平面内的两个定点，a是一个常 对称性 对称轴：丽 ,对称中心：园 数，且2a>FF2I,则平面内满足回 的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两 离心率 个定点F,F:称为椭圆的☑ ,两个焦点之 a.b.c 间的距离|F,F2|称为椭圆的☒ 的关系 其数学表达式：集合M=(P1|PF,I+IPF,| 2a}.F,F2|=2c,其中a>0,e>0,且a.c为 常用结论 常数 椭圆的焦点三角形 (1)若a>c,则点P的轨迹为椭圆： 椭圆上的点P(x,y)与两焦点构成的△PF,F (2)若a=c,则点P的轨迹为线段： 叫做焦点三角形.如图所示，设∠FPF,=0. (3)若a<c,则点P的轨迹不存在. 2.椭圆的简单几何性质 焦点的 焦点在x轴上 焦点在y轴上 位置 (1)当P为短轴端点时，0最大，SFm最大。 A (2)S△F= 21PE11PE1m0=an号 图形 =clyol. B (3)PFm=a+e,PFmin=a-c. 标准 =1(a>b>0) =1(a>b>0) (④PE,I·PE,I≤(PFPE=a 2 方程 (5)4=PF+PF:-2PFPF.Icos 0. 范围 诊断自测 固 顶点 思考辨析 @ 回 1,判断（在括号内打“√”或“×”） 轴长 短轴长为四 ,长轴长为四 (1)平面内与两个定点F,F:的距离之和等于常 数的点的轨迹是椭圆。 () 焦点 (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. ( 167图 ①高考一轮总复习·数学·RJB (3)方程m.x2十ny=1(m>0,n>0,m≠n)表示 PF,I= 的曲线是椭圆。 A.13 B.1 c.7 D.5 4022 1《a50)与人工 =1(a>b>0) 易错自纠 4.(椭圆方程形式不明政娱)若中心在坐标原点，对 的焦距相同。 ) 称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为 教材衍化 2.(教村改编题)如果点M(x,y)在运动过程中，总 3 ，则椭圆的标准方程为 满足关系式/+(y+3)+/+(y-3)=4 5.(迎视精圆上点满足秦件致娱)若点O和点F分 5,那么点M的轨迹是 别为椭圆一+苦-1的中心和左焦点，点P为椭 A.不存在B.椭圆 C.线段 D.双曲线 圆上任意一点，侧OP·FP的取值范围为 3.(教村改编题)点P为椭圆4x十y=16上一点， F,F。为该椭圆的两个焦点，若|PF,|=3,则 .(答案用区间形式表示) [对应吾案P438 提升能力 考点剖析⊙ 考点小 椭圆的定义及其应用（师生共研） [例1们(1)如图，圆O的半径为定长r,A是圆O 感悟方法心 内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂 椭圆定义的应用技巧 直平分线1和半径OP相交于点Q,当点P在 (1)椭圈定义的应用主要有：求椭圆的标准方 圆上运动时，点Q的轨迹是 程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长，最值 和离心率等 (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于 焦点三角形的周长和面积问题， ”变式训练》 1.(2023·江西萍乡·三模)设F1,F为椭圆C: A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆 (2)设点P为椭圆C,三+ 3y2+2 =1(0<n<1)的焦点，若在椭圆C上存在 4 -=1(a>2)上一点， 点P,满足∠FPF:=120°，则实数n的取值范围 F,F,分别为C的左、右焦点，且∠F,PF2 为 () 60°，则△PF,F2的面积为 【发散探究】 A(o,】[co.]n[ 若将本例(2)中“∠FPF,=60”改成“PF,⊥ 2.（多选)(2022·山东临折·三模)2022年4月16 PF”,求△PFF的面积 日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回 舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可 近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图 在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半 圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴 与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若 过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆 交于点B,则 ⑧168 第八章平面解析几何回 A.椭圆的长轴长为4② B.线段AB长度的取值范围是[4,2+22] C.△ABF面积的最小值是4 D.△AFG的周长为4+4√2 考点2 椭圆的标准方程（多雏探究） 角度1定义法 感悟方法2 [例2](2022·湖南·长沙市明德中学二模)已知 根据条件求椭圆方程的主要方法 F·F分别是椭圆C:无大之 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹 69