圆锥曲线解答题难点突破专练集-2023届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线解答题难点突破专练集 1已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 2 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 3．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点． 4．已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)在椭圆C上，且满足PF1·PF2＝PF22. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点F2且斜率不为零的直线l交椭圆C于不同的两点A，B，则在x轴上是否存在定点M，使得MO平分∠AMB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 7　给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”．若椭圆C的离心率为，点(2，)在C上． (1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”的方程； (2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“卫星圆”于点M，N，证明：|MN|为定值． 8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，M为椭圆C上一点，△MF1F2的周长为4＋2. (1)求椭圆C的方程； (2)若P为圆x2＋y2＝5上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，试判断·是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 9已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．以F1F2为直径的圆和C有且仅有两个交点，且直线y＝x＋与C相切． (1)求椭圆C的方程； (2)若A，B为x轴上两点，且两点的横坐标之积为4.过A点的直线交C于M，N两点，直线BM与C的另一个交点为S(S异于点N)，直线BN与C的另一个交点为T.设M关于x轴的对称点为P，求证：B，N，P三点共线． 10．已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，求的最大值； （Ⅲ）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若、和点 共线，求. （Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线解答题难点突破专练集 1已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【解析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. (2)利用自极三角形定义，设四边形ADBC的对角线交于极点N(t,0)，则 设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，即可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：，命题得证. 2 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 【解析】（1）抛物线的焦点为，，所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）抛物线的方程为，设点、、， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，，所以，点到直线的距离为， 所以，， ，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. 3．已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A为线段BM的中点． 【解析】（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得. 所以抛物线C的方程为. 抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为. （Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，. 由，得. 则，. 因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为. 直线ON的方程为，点B的坐标为. 因为 ，所以. 故A为线段BM的中点. 4