第十二讲 空间图形的表面积和体积-《知识提炼 能力训练》2023春高一数学必修二专题同步讲解（苏教版）

第十二讲 空间图形的表面积和体积 一、知识梳理 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 2.空间几何体的表面积与体积公式 名称几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 二、典型例题 例1 (1)如图所示,在梯形ABCD中,∠ABC＝,AD∥BC,BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　) A．4π B．(4＋)π C．6π D．(5＋)π (2)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________． 变式1 已知正四棱锥的侧面积为4,底面边长为2,则该正四棱锥的高长度为________. 变式2 已知圆柱的底面半径为1,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表面积为________. 例2 如图所示,已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________． 例3 如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF＝2,则该多面体的体积为____________． 例4 如图所示,已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　　) A． B． C． D． 变式1 《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如：“堑堵”指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图所示,在“堑堵”ABC－A1B1C1中,AC⊥BC,若“阳马”B－A1ACC1的体积为20 cm3,则“堑堵”ABC－A1B1C1的体积为________cm3. 变式2 如图所示,已知体积为V的三棱柱ABC－A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一点,则四棱锥P－AA1C1C的体积为________. 变式3 直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2,E为棱CC1的中点,则三棱锥A1－B1C1E的体积为________. 三、课堂训练 1.若圆的侧面展开图是圆心角为，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比为(　　) A．3∶2 B．2∶1 C．4∶3 D．5∶3 2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 3.如图11.1­1所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　) A．3 B. C．1 D. 4.如图所示是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，则该几何体的体积是________，截面ABC的面积是________． 5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2 cm，E为C1D1的中点，则三棱锥E－A1BC的体积为________ cm3. 6.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图11.1­9所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？ 四、举一反三 1.用长度分别为2,3,5,6,9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为(　　) A．258 cm2 B．414 cm2 C．416 cm2 D．418 cm2 2.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　) A. B. C. D. 3.祖暅(公元前5～6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，